Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da região limitada pelas funções , , e . Depois, precisamos encontrar a área dessa região usando integrais. Então, vamos usar conceitos de funções, gráficos e cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada uma dessas funções representa:
  • é uma função que diminui à medida que aumenta. Ela nunca toca o eixo , mas se aproxima cada vez mais conforme vai para o infinito.
  • é simplesmente o eixo .
  • e são linhas verticais que interceptam o eixo nesses pontos.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico:
  1. Desenhe o eixo e o eixo .
  2. Trace a função . Ela começa alta perto de e vai diminuindo conforme aumenta.
  3. Marque as linhas verticais em e .
  4. A linha é o próprio eixo .
A região que queremos está entre e , abaixo da curva e acima do eixo .

Passo 4

Agora, vamos calcular a área dessa região usando uma integral definida. A ideia é somar infinitos retângulos infinitamente estreitos entre e , onde a altura de cada retângulo é dada pela função .
A fórmula da área será:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
  1. Reescreva como para facilitar a integração.
  2. Integre :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma área definida.
  1. Agora, aplique os limites de integração de 1 a 5:

Resposta

A área da região limitada pelas funções é unidades quadradas.

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Mostre por meio de um exemplo que pode existir mesmo e não existam.
Calcule
©
Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L(a)
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(b)