Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da região limitada pelas funções
,
,
e
. Depois, precisamos encontrar a área dessa região usando integrais. Então, vamos usar conceitos de funções, gráficos e cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada uma dessas funções representa:
-
é uma função que diminui à medida que aumenta. Ela nunca toca o eixo , mas se aproxima cada vez mais conforme vai para o infinito. -
é simplesmente o eixo . -
e são linhas verticais que interceptam o eixo nesses pontos.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico:
- Desenhe o eixo
e o eixo . - Trace a função
. Ela começa alta perto de e vai diminuindo conforme aumenta. - Marque as linhas verticais em
e . - A linha
é o próprio eixo .
A região que queremos está entre
e
, abaixo da curva
e acima do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área dessa região usando uma integral definida. A ideia é somar infinitos retângulos infinitamente estreitos entre
e
, onde a altura de cada retângulo é dada pela função
.
A fórmula da área
será:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
- Reescreva
como para facilitar a integração. - Integre
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma área definida.
- Agora, aplique os limites de integração de 1 a 5:
Resposta
A área da região limitada pelas funções é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Mostre por meio de um exemplo que
pode existir mesmo
e
não existam.
Calcule
©
©
Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L(a)
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(b)
(b)