Mostre por meio de um exemplo que pode existir mesmo e não existam.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa mostrar, usando um exemplo, que o limite de uma soma de duas funções, , pode existir mesmo que os limites individuais das funções, e , não existam. Para isso, vamos escolher funções específicas e calcular os limites.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o ponto para o qual vamos calcular o limite. Vamos simplificar escolhendo . Agora, precisamos definir duas funções e que, individualmente, não tenham limite quando se aproxima de 0, mas que, juntas, somadas, tenham um limite.

Passo 3

Uma boa escolha para essas funções é usar o seno e o contrário dele. Vamos definir:
Vamos analisar o comportamento de cada uma dessas funções quando se aproxima de 0.

Passo 4

Primeiro, analisando . Quando se aproxima de 0, tende ao infinito, fazendo com que o seno oscile entre -1 e 1 infinitamente sem se estabilizar em nenhum valor específico. Portanto, não existe.

Passo 5

Agora, analisando . Esse é simplesmente o negativo de , então o comportamento é o mesmo: o seno oscila entre -1 e 1, e o negativo disso oscila entre -1 e 1 também. Portanto, também não existe.

Passo 6

Vamos agora somar as duas funções:
Independentemente do valor de (exceto quando , mas estamos olhando para o limite), a soma é sempre 0.

Passo 7

Como a soma das funções é sempre 0 quando está próximo de 0, o limite dessa soma é claramente 0:

Resposta

Portanto, mostramos que mesmo que e não existam, a soma dessas funções tem o limite igual a 0.

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