Mostre por meio de um exemplo que lim x c[f(x)+g(x)] pode existir mesmo lim x c f(x) e lim x c g(x) não existam.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa mostrar, usando um exemplo, que o limite de uma soma de duas funções, lim x c[f(x)+g(x)], pode existir mesmo que os limites individuais das funções, lim x c f(x) e lim x c g(x), não existam. Para isso, vamos escolher funções específicas e calcular os limites.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o ponto c para o qual vamos calcular o limite. Vamos simplificar escolhendo c = 0. Agora, precisamos definir duas funções f(x) e g(x) que, individualmente, não tenham limite quando x se aproxima de 0, mas que, juntas, somadas, tenham um limite.

Passo 3

Uma boa escolha para essas funções é usar o seno e o contrário dele. Vamos definir:
f(x) = sin(1x)
g(x) = -sin(1x)
Vamos analisar o comportamento de cada uma dessas funções quando x se aproxima de 0.

Passo 4

Primeiro, analisando f(x) = sin(1x). Quando x se aproxima de 0, 1x tende ao infinito, fazendo com que o seno oscile entre -1 e 1 infinitamente sem se estabilizar em nenhum valor específico. Portanto, lim x 0 f(x) não existe.

Passo 5

Agora, analisando g(x) = -sin(1x). Esse é simplesmente o negativo de f(x), então o comportamento é o mesmo: o seno oscila entre -1 e 1, e o negativo disso oscila entre -1 e 1 também. Portanto, lim x 0 g(x) também não existe.

Passo 6

Vamos agora somar as duas funções:
f(x) + g(x) = sin(1x) - sin(1x) = 0
Independentemente do valor de x (exceto quando x = 0, mas estamos olhando para o limite), a soma é sempre 0.

Passo 7

Como a soma das funções f(x) + g(x) é sempre 0 quando x está próximo de 0, o limite dessa soma é claramente 0:
lim x 0[f(x)+g(x)] = 0

Resposta

Portanto, mostramos que mesmo que lim x 0 sin(1x) e lim x 0 -sin(1x) não existam, a soma dessas funções tem o limite igual a 0.

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