Esboce o gráfico das seguintes equações:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico da equação
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre conicas. Precisamos identificar que tipo de figura geométrica essa equação representa e determinar suas características principais para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação de forma a identificar os coeficientes das potências de
e
. A equação dada é:
Aqui, temos termos de segundo grau (
,
,
), termos de primeiro grau (
,
) e um termo constante.
Passo 3
Para determinar o tipo de conica, usamos o discriminante
, que é dado por:
Onde:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Calculando:
Como o discriminante é zero (
), a equação representa uma parábola.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação para identificar seu vértice e a direção de abertura. A equação original é:
Porém, devido ao termo
, a parábola está rotacionada. Para facilitar, podemos eliminar o termo
aplicando uma rotação de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação
é:
Então:
Passo 5
Após encontrar o ângulo
, aplicamos a rotação das coordenadas para eliminar o termo
. As novas coordenadas
são dadas por:
Substituindo na equação original e simplificando, obtemos uma equação sem o termo
, facilitando o esboço da parábola.
Passo 6
Com a equação simplificada, identificamos o vértice da parábola e sua direção de abertura (horizontal ou vertical). Por exemplo, se a equação final for da forma
, a parábola abre para cima ou para baixo. Se for
, abre para a direita ou esquerda.
Passo 7
Finalmente, plotamos o vértice no sistema de coordenadas e usamos pontos adicionais para desenhar o gráfico da parábola. Lembrando de considerar a rotação aplicada inicialmente para voltar às coordenadas originais.
Resposta
O gráfico da equação
é uma parábola rotacionada, cujo esboço pode ser realizado identificando e aplicando uma rotação das coordenadas para simplificar sua representação.