Para que valores de dotepsilon o conjunto t+3,2 t+lambda^2+2 do espaço vetorial P1 dos polinômios de grau 1 é linearmente independente?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de dois polinômios no espaço vetorial , que é o espaço de todos os polinômios de grau 1. Os polinômios são e . Queremos descobrir para quais valores de esse conjunto é linearmente independente. Isso significa que nenhum dos polinômios pode ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores (ou polinômios, no caso) serem linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única solução para a equação a(t + 3) + b(2t + lambda^2 + 2) = 0 for e . Aplicando isso aos nossos polinômios:
Queremos encontrar os valores de para os quais a única solução é e .

Passo 3

Vamos expandir a equação:
a(t + 3) + b(2t + lambda^2 + 2) = 0
a t + 3a + 2b t + b (lambda^2 + 2) = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + 2b)t + (3a + blambda^2 + 2b) = 0
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações lineares:
a + 2b = 0 3a + blambda^2 + 2b = 0
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar a = -2b em termos de 3(-2b) + blambda^2 + 2b = 0 :
-6b + blambda^2 + 2b = 0
Substituindo (-6b + 2b) + blambda^2 = 0 na segunda equação:
-4b + blambda^2 = 0
b(lambda^2 - 4) = 0

Passo 5

A última equação nos diz que . Isso significa que:
  1. , ou
Vamos analisar cada caso:
  • Caso 1: Se , então da primeira equação . Isso significa que a única solução é e , o que indica que os polinômios são linearmente independentes.
  • Caso 2: Se , então , ou seja, . Neste caso, não estamos garantindo que , o que pode levar a soluções não triviais (onde e não são ambos zero). Portanto, quando , os polinômios podem ser linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto é linearmente independente para quaisquer valores de diferentes de e . Ou seja, para todo tal que .

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