Para que valores de
o conjunto
do espaço vetorial
dos polinômios de grau 1 é linearmente independente?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de dois polinômios no espaço vetorial
, que é o espaço de todos os polinômios de grau 1. Os polinômios são
e
. Queremos descobrir para quais valores de
esse conjunto é linearmente independente. Isso significa que nenhum dos polinômios pode ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores (ou polinômios, no caso) serem linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única solução para a equação
for
e
. Aplicando isso aos nossos polinômios:
Queremos encontrar os valores de
para os quais a única solução é
e
.
Passo 3
Vamos expandir a equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais a zero:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 5
A última equação nos diz que
. Isso significa que:
-
, ou -
Vamos analisar cada caso:
-
Caso 1: Se
, então da primeira equação . Isso significa que a única solução é e , o que indica que os polinômios são linearmente independentes. -
Caso 2: Se
, então , ou seja, . Neste caso, não estamos garantindo que , o que pode levar a soluções não triviais (onde e não são ambos zero). Portanto, quando , os polinômios podem ser linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente para quaisquer valores de
diferentes de
e
. Ou seja, para todo
tal que
.