Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . Esse tipo de problema está na área de funções de duas variáveis e gráficos de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar uma superfície paraboloide a partir dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a forma da função: . Isso é uma função quadrática em e , o que geralmente representa uma paraboloide. Uma paraboloide é como uma “tigela” que pode abrir para cima ou para baixo.

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes dessa equação. Temos:
  • : Isso indica que a parábola está deslocada 1 unidade para a esquerda no eixo .
  • : Isso mostra que a parábola está deslocada 1 unidade para trás no eixo .
  • : Esse é o termo constante que desloca a parábola 2 unidades para cima no eixo .

Passo 4

O próximo passo é determinar o vértice da paraboloide. O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da superfície, dependendo de como ela abre. Na nossa função, como os coeficientes de e são positivos, a paraboloide abre para cima. O vértice está no ponto .

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos seguir esses passos:
  1. Localizar o vértice: Marque o ponto no espaço tridimensional.
  2. Direção da abertura: Como a paraboloide abre para cima, imagine uma tigela virada para cima partindo desse vértice.
  3. Curvas de nível: Desenhe círculos concêntricos ao redor do vértice para representar diferentes “alturas” da função.
  4. Eixos: Certifique-se de que os eixos , e estejam bem representados para dar perspectiva ao gráfico.

Resposta

O gráfico da função é uma paraboloide aberta para cima com vértice no ponto . Para esboçar, marque o vértice, desenhe a forma de uma tigela virada para cima e adicione círculos concêntricos ao redor do vértice para representar as diferentes altitudes da superfície.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de indicados:
e
Esboce o gráfico das seguintes funções: