Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função
. Esse tipo de problema está na área de funções de duas variáveis e gráficos de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar uma superfície paraboloide a partir dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a forma da função:
. Isso é uma função quadrática em
e
, o que geralmente representa uma paraboloide. Uma paraboloide é como uma “tigela” que pode abrir para cima ou para baixo.
Passo 3
Agora, vamos identificar os componentes dessa equação. Temos:
-
: Isso indica que a parábola está deslocada 1 unidade para a esquerda no eixo . -
: Isso mostra que a parábola está deslocada 1 unidade para trás no eixo . -
: Esse é o termo constante que desloca a parábola 2 unidades para cima no eixo .
Passo 4
O próximo passo é determinar o vértice da paraboloide. O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da superfície, dependendo de como ela abre. Na nossa função, como os coeficientes de
e
são positivos, a paraboloide abre para cima. O vértice está no ponto
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos seguir esses passos:
- Localizar o vértice: Marque o ponto
no espaço tridimensional. - Direção da abertura: Como a paraboloide abre para cima, imagine uma tigela virada para cima partindo desse vértice.
- Curvas de nível: Desenhe círculos concêntricos ao redor do vértice para representar diferentes “alturas” da função.
- Eixos: Certifique-se de que os eixos
, e estejam bem representados para dar perspectiva ao gráfico.
Resposta
O gráfico da função
é uma paraboloide aberta para cima com vértice no ponto
. Para esboçar, marque o vértice, desenhe a forma de uma tigela virada para cima e adicione círculos concêntricos ao redor do vértice para representar as diferentes altitudes da superfície.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de
indicados:
e
Esboce o gráfico das seguintes funções: