Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de z indicados:
f(x, y) = ln(x^2 + 4y^2), z = 1, z = 2 e z = 3

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos traçar as curvas de nível da função para os valores de , e . Isso envolve trabalhar com funções de duas variáveis e entender como essas funções se comportam em diferentes níveis de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é onde a função é igual a um valor constante . Então, começamos igualando a função a cada valor de :

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos isolar . Fazemos isso aplicando a função exponencial em ambos os lados:

Passo 4

Agora, temos a equação . Essa é a equação de uma elipse, onde o termo controla o tamanho da elipse para cada valor de .

Passo 5

Vamos calcular para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Então, as equações das curvas de nível são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

As curvas de nível são elipses dadas por:

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