Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de
indicados:
e
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos traçar as curvas de nível da função
para os valores de
,
e
. Isso envolve trabalhar com funções de duas variáveis e entender como essas funções se comportam em diferentes níveis de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é onde a função
é igual a um valor constante
. Então, começamos igualando a função a cada valor de
:
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos isolar
. Fazemos isso aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Passo 4
Agora, temos a equação
. Essa é a equação de uma elipse, onde o termo
controla o tamanho da elipse para cada valor de
.
Passo 5
Vamos calcular
para cada valor de
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 6
Então, as equações das curvas de nível são:
- Para
: - Para
: - Para
:
Resposta
As curvas de nível são elipses dadas por:
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Esboce o gráfico das seguintes funções:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.