Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função
. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar a forma dessa função, que parece ser uma parábola em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função quadrática de duas variáveis,
e
, e pode ser representada como uma superfície no espaço 3D. A forma geral dessa função é semelhante à equação de uma esfera ou paraboloide, mas com sinais que nos indicam a direção da abertura.
Passo 3
Vamos identificar o vértice da parábola. O vértice ocorre onde os termos quadráticos são zero. Assim, igualamos
e
, o que nos dá
e
. Substituindo esses valores na função, temos
. Portanto, o vértice está no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos observar os coeficientes dos termos quadráticos. Tanto o termo de
quanto o de
têm um sinal negativo. Isso indica que a parábola está voltada para baixo, ou seja, a superfície se abre na direção negativa do eixo
. Quanto maior o valor de
ou
se afastam do vértice, mais baixo a superfície ficará.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, imagine um “balão” invertido com o ponto mais alto no vértice
. À medida que nos afastamos desse ponto nas direções
e
, a superfície desce devido aos termos quadráticos negativos. Não há cortes horizontais ou linhas de simetria além do que já identificamos no vértice.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola tridimensional invertida com vértice no ponto
. A superfície se abre para baixo, e à medida que nos afastamos do vértice nas direções
e
, a altura diminui.
Exercícios relacionados
A segunda derivada direcional de
é
. Se
e
, calcule
.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Esboce o gráfico das seguintes funções: