Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar a forma dessa função, que parece ser uma parábola em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função quadrática de duas variáveis, e , e pode ser representada como uma superfície no espaço 3D. A forma geral dessa função é semelhante à equação de uma esfera ou paraboloide, mas com sinais que nos indicam a direção da abertura.

Passo 3

Vamos identificar o vértice da parábola. O vértice ocorre onde os termos quadráticos são zero. Assim, igualamos e , o que nos dá e . Substituindo esses valores na função, temos . Portanto, o vértice está no ponto .

Passo 4

Agora, vamos observar os coeficientes dos termos quadráticos. Tanto o termo de quanto o de têm um sinal negativo. Isso indica que a parábola está voltada para baixo, ou seja, a superfície se abre na direção negativa do eixo . Quanto maior o valor de ou se afastam do vértice, mais baixo a superfície ficará.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, imagine um “balão” invertido com o ponto mais alto no vértice . À medida que nos afastamos desse ponto nas direções e , a superfície desce devido aos termos quadráticos negativos. Não há cortes horizontais ou linhas de simetria além do que já identificamos no vértice.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola tridimensional invertida com vértice no ponto . A superfície se abre para baixo, e à medida que nos afastamos do vértice nas direções e , a altura diminui.

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A segunda derivada direcional de é . Se e , calcule .
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Esboce o gráfico das seguintes funções: