Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui envolve cálculo vetorial, especificamente encontrar o gradiente de uma função, calcular esse gradiente em um ponto específico e determinar a taxa de variação da função nessa direção. Para isso, vamos precisar trabalhar com derivadas parciais e entender como elas se combinam no gradiente. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o gradiente da função
.
O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função. Ou seja, para
, o gradiente é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
na expressão do gradiente que encontramos:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Por último, vamos determinar a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
.
Primeiro, precisamos transformar
em um vetor unitário, pois a taxa de variação depende apenas da direção, não do tamanho do vetor. A fórmula para o vetor unitário
é:
Onde
é o módulo de
:
Então,
Agora, a taxa de variação de
na direção de
no ponto
é o produto escalar do gradiente de
em
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções:
A segunda derivada direcional de
é
. Se
e
, calcule
.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de
indicados:
e