Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui envolve cálculo vetorial, especificamente encontrar o gradiente de uma função, calcular esse gradiente em um ponto específico e determinar a taxa de variação da função nessa direção. Para isso, vamos precisar trabalhar com derivadas parciais e entender como elas se combinam no gradiente. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o gradiente da função .
O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função. Ou seja, para , o gradiente é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir e na expressão do gradiente que encontramos:
  1. Para a componente :
  1. Para a componente :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Por último, vamos determinar a taxa de variação de no ponto na direção do vetor .
Primeiro, precisamos transformar em um vetor unitário, pois a taxa de variação depende apenas da direção, não do tamanho do vetor. A fórmula para o vetor unitário é:
Onde é o módulo de :
Então,
Agora, a taxa de variação de na direção de no ponto é o produto escalar do gradiente de em com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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e