Esboce o gráfico das seguintes funções:
(d)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função . Este exercício está dentro do estudo de funções exponenciais e envolve o conceito de valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como a função exponencial se comporta e como o valor absoluto afeta o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O valor absoluto de , representado por , sempre dá um número positivo ou zero, independente do sinal de . Isso significa que a função se comporta de maneira diferente para valores positivos e negativos de .
Vamos dividir a função em dois casos:
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular alguns pontos importantes para cada caso, isso vai nos ajudar a esboçar o gráfico.
Para :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Para :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função com base nos pontos calculados:
  • Para :
    Conforme aumenta, diminui exponencialmente, aproximando-se de zero, mas nunca chega a tocar o eixo .
  • Para :
    Conforme diminui, aumenta exponencialmente, crescendo sem limites.
Além disso, a função é simétrica em relação ao eixo , porque o valor absoluto faz com que tenha os mesmos valores para positivos e negativos de mesma magnitude.

Passo 5

Com base nos pontos calculados e no comportamento analisado, podemos traçar o gráfico da função:
  1. No ponto , a função atinge seu valor máximo.
  2. Para , o gráfico desce de forma suave, aproximando-se do eixo à medida que aumenta.
  3. Para , o gráfico sobe de forma suave, afastando-se do eixo à medida que diminui.
O gráfico terá a forma de um “U” simétrico em torno do eixo .

Resposta

O gráfico da função é uma curva simétrica em relação ao eixo , com o ponto mais alto em . À medida que aumenta positivamente, a função decresce exponencialmente em direção a zero, e à medida que diminui negativamente, a função cresce exponencialmente. O gráfico se assemelha a um “U” aberto, nunca tocando o eixo .

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(a)
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(e)