Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Para fazer isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções, como domínio, assíntotas, interceptações e comportamento da função. Vamos resolver passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, vemos que temos termos com
e
. Para esses termos não ficarem indefinidos,
não pode ser zero. Então, o domínio é:
Passo 3
Agora vamos achar as assíntotas da função, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Assíntota vertical: Ocorre onde a função não está definida, ou seja, onde
. Então, temos uma assíntota vertical em:
Assíntota horizontal: Vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Simplificando a função:
Quando
vai para
ou
, os termos
e
tendem a zero. Portanto, a assíntota horizontal é:
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos.
Interseção com o eixo y: É o ponto onde
. Mas, como vimos no domínio, a função não está definida em
. Então, não há interseção com o eixo y.
Interseção com o eixo x: É o ponto onde
.
Multiplicando tudo por
para eliminar as frações:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção com o eixo x são:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos para entender como ela se comporta:
-
Para
: Como aumenta, e diminuem, aproximando-se de zero. A função tende a . -
Para
: Similarmente, à medida que se afasta de zero, os termos e também tendem a zero, e a função se aproxima de . -
Próximo a
: Perto da assíntota vertical, o comportamento depende do lado em que está: - À direita de 0 (
): e vão para , então . - À esquerda de 0 (
): vai para e para , então .
- À direita de 0 (
Passo 6
Com todas essas informações, já podemos esboçar o gráfico da função
:
- Desenhe as assíntotas: Uma linha vertical em
e uma horizontal em . - Marque os pontos de interseção com o eixo x em
e . - Trace o comportamento da função:
- Nos intervalos
e , a função se aproxima de . - Próximo a
, a função desce para à direita e sobe para à esquerda.
- Nos intervalos
- Desenhe as curvas respeitando esses comportamentos, conectando os pontos e seguindo as tendências das assíntotas.
Resposta
O gráfico da função
possui uma assíntota vertical em
, uma assíntota horizontal em
, e intercepta o eixo x nos pontos
e
. A função se aproxima de
para valores grandes positivos e negativos de
, tende a
quando
se aproxima de zero pela direita, e a
quando se aproxima pela esquerda. Com essas características, o esboço do gráfico refletirá essas tendências e interceptações.