Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x) = 1 + 1/x - 1/x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função . Para fazer isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções, como domínio, assíntotas, interceptações e comportamento da função. Vamos resolver passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que temos termos com e . Para esses termos não ficarem indefinidos, não pode ser zero. Então, o domínio é:
í

Passo 3

Agora vamos achar as assíntotas da função, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Assíntota vertical: Ocorre onde a função não está definida, ou seja, onde . Então, temos uma assíntota vertical em:
Assíntota horizontal: Vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Simplificando a função:
Quando vai para ou , os termos e tendem a zero. Portanto, a assíntota horizontal é:

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos.
Interseção com o eixo y: É o ponto onde . Mas, como vimos no domínio, a função não está definida em . Então, não há interseção com o eixo y.
Interseção com o eixo x: É o ponto onde .
Multiplicando tudo por para eliminar as frações:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção com o eixo x são:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos para entender como ela se comporta:
  • Para : Como aumenta, e diminuem, aproximando-se de zero. A função tende a .
  • Para : Similarmente, à medida que se afasta de zero, os termos e também tendem a zero, e a função se aproxima de .
  • Próximo a : Perto da assíntota vertical, o comportamento depende do lado em que está:
    • À direita de 0 ( ): e vão para , então .
    • À esquerda de 0 ( ): vai para e para , então .

Passo 6

Com todas essas informações, já podemos esboçar o gráfico da função :
  1. Desenhe as assíntotas: Uma linha vertical em e uma horizontal em .
  2. Marque os pontos de interseção com o eixo x em e .
  3. Trace o comportamento da função:
    • Nos intervalos e , a função se aproxima de .
    • Próximo a , a função desce para à direita e sobe para à esquerda.
  4. Desenhe as curvas respeitando esses comportamentos, conectando os pontos e seguindo as tendências das assíntotas.

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em , e intercepta o eixo x nos pontos e . A função se aproxima de para valores grandes positivos e negativos de , tende a quando se aproxima de zero pela direita, e a quando se aproxima pela esquerda. Com essas características, o esboço do gráfico refletirá essas tendências e interceptações.

Exercícios relacionados