Esboce o gráfico das seguintes funções. f(x) = 1 + log(1/2, x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um pedido para esboçar o gráfico da função . O conteúdo envolve funções logarítmicas, e vamos precisar entender como elas se comportam, especialmente com uma base que é menor que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função logarítmica tem a forma geral , onde é a base. No nosso caso, a base é , que é menor que 1. Isso é importante porque logaritmos com base entre 0 e 1 são funções decrescentes, ou seja, à medida que aumenta, o valor do logaritmo diminui.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Isso significa que estamos pegando o logaritmo de na base e somando 1 ao resultado. Vamos identificar alguns pontos chave para esboçar o gráfico:
  1. Domínio: Para que o logaritmo esteja definido, deve ser maior que 0. Então, o domínio é .
  2. Assíntota vertical: A função logarítmica tem uma assíntota vertical em , ou seja, o gráfico se aproxima de mas nunca toca o eixo .
  3. Intercepto com o eixo y: Para encontrar onde a função cruza o eixo , substituímos :
    Então, o ponto é .
  4. Comportamento da função: Como a base é , a função é decrescente. Isso significa que conforme aumenta, diminui.

Passo 4

Vamos também identificar o valor de quando :
Então, temos o ponto .
E quando :
Portanto, o ponto é .

Passo 5

Com esses pontos e o comportamento geral da função, podemos esboçar o gráfico:
  • Começa perto do infinito em próximo a 0.
  • Passa pelo ponto .
  • Cruza o ponto .
  • Continua descendo e passa pelo ponto .
  • Aproxima-se do eixo à medida que vai para o infinito.

Resposta

O gráfico de é uma curva decrescente que passa pelos pontos , e , com uma assíntota vertical em , aproximando-se do eixo conforme aumenta.

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