Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender um pouquinho sobre funções trigonométricas inversas, especificamente a arctangente. Para resolver isso, vamos precisar saber como a função se comporta e como a multiplicação por 2 afeta o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . Ela é a função inversa da tangente, ou seja, para cada valor , temos que . O domínio da é todos os números reais, e o contradomínio é de a . Isso significa que o gráfico de vai de a conforme vai de a .

Passo 3

Agora, vamos considerar a função . Multiplicar a função por 2 vai esticar o gráfico verticalmente. Ou seja, para cada valor de , vamos multiplicar por 2, aumentando a amplitude do gráfico.

Passo 4

Vamos identificar alguns pontos chave para desenhar o gráfico:
  • Quando , .
  • Quando tende a , tende a , então tende a .
  • Quando tende a , tende a , então tende a .

Passo 5

Também é importante notar que a função é ímpar, ou seja, . Isso significa que o gráfico é simétrico em relação à origem, facilitando o desenho de um lado e refletindo para o outro.

Passo 6

Vamos agora esboçar o gráfico:
  • Desenhamos os assíntotas horizontais em e , que são os limites que o gráfico nunca alcança, mas se aproxima conforme vai para ou .
  • Marcamos o ponto de origem (0,0).
  • Desenhamos uma curva suave que passa por (0,0), sobe lentamente para se aproximar de quando aumenta, e desce lentamente para se aproximar de quando diminui.

Resposta

O gráfico da função é uma curva que passa pela origem, é simétrica em relação à origem, se aproxima das assíntotas horizontais e conforme tende a e , respectivamente, e é esticado verticalmente em relação ao gráfico da .

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Expresse a quantidade dada como um único logaritmo:
Prove que e faça o gráfico dessa função.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Esboce o gráfico das seguintes funções: