Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender um pouquinho sobre funções trigonométricas inversas, especificamente a arctangente. Para resolver isso, vamos precisar saber como a função
se comporta e como a multiplicação por 2 afeta o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. Ela é a função inversa da tangente, ou seja, para cada valor
, temos que
. O domínio da
é todos os números reais, e o contradomínio é de
a
. Isso significa que o gráfico de
vai de
a
conforme
vai de
a
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função
. Multiplicar a função
por 2 vai esticar o gráfico verticalmente. Ou seja, para cada valor de
, vamos multiplicar por 2, aumentando a amplitude do gráfico.
Passo 4
Vamos identificar alguns pontos chave para desenhar o gráfico:
- Quando
, . - Quando
tende a , tende a , então tende a . - Quando
tende a , tende a , então tende a .
Passo 5
Também é importante notar que a função
é ímpar, ou seja,
. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação à origem, facilitando o desenho de um lado e refletindo para o outro.
Passo 6
Vamos agora esboçar o gráfico:
- Desenhamos os assíntotas horizontais em
e , que são os limites que o gráfico nunca alcança, mas se aproxima conforme vai para ou . - Marcamos o ponto de origem (0,0).
- Desenhamos uma curva suave que passa por (0,0), sobe lentamente para se aproximar de
quando aumenta, e desce lentamente para se aproximar de quando diminui.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva que passa pela origem, é simétrica em relação à origem, se aproxima das assíntotas horizontais
e
conforme
tende a
e
, respectivamente, e é esticado verticalmente em relação ao gráfico da
.
Exercícios relacionados
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo:
Prove que
e faça o gráfico dessa função.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Esboce o gráfico das seguintes funções: