Prove que cos(arcsen(x)) = sen(arccos(x)) = raiz(1 - x^2) e faça o gráfico dessa função.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que e também para fazer o gráfico dessa função. Vamos usar trigonometria e algumas identidades básicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . A função nos dá o ângulo cujo seno é , e a nos dá o ângulo cujo cosseno é x.

Passo 3

Vamos começar provando que . Imagine um triângulo retângulo onde um dos ângulos é . O seno desse ângulo é oposto sobre a hipotenusa, então se a hipotenusa for 1, o cateto oposto será . Usando o teorema de Pitágoras:
Como o cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa, temos:

Passo 4

Agora, vamos provar que . Vamos usar a mesma lógica. Considere um triângulo retângulo onde um dos ângulos é . O cosseno desse ângulo é adjacente sobre a hipotenusa, então se a hipotenusa for 1, o cateto adjacente será . Usando o teorema de Pitágoras novamente:
x
Como o seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa, temos:

Passo 5

Então, mostramos que tanto quanto são iguais a . Portanto, podemos concluir que:

Resposta

A igualdade foi comprovada, e o gráfico dessa função é uma meia-circunferência no intervalo , representando a função -1 <= x <= 1.

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