Prove que
e faça o gráfico dessa função.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que e também para fazer o gráfico dessa função. Vamos usar trigonometria e algumas identidades básicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são e
. A função nos dá o ângulo cujo seno é
, e a
nos dá o ângulo cujo cosseno é
.
Passo 3
Vamos começar provando que . Imagine um triângulo retângulo onde um dos ângulos é . O seno desse ângulo é oposto sobre a hipotenusa, então se a hipotenusa for 1, o cateto oposto será
. Usando o teorema de Pitágoras:
Como o cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa, temos:
Passo 4
Agora, vamos provar que . Vamos usar a mesma lógica. Considere um triângulo retângulo onde um dos ângulos é
. O cosseno desse ângulo é adjacente sobre a hipotenusa, então se a hipotenusa for 1, o cateto adjacente será
. Usando o teorema de Pitágoras novamente:
Como o seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa, temos:
Passo 5
Então, mostramos que tanto quanto são iguais a
. Portanto, podemos concluir que:
Resposta
A igualdade foi comprovada, e o gráfico dessa função é uma meia-circunferência no intervalo
, representando a função
.
Exercícios relacionados
Para
, calcule os seguintes valores:
Para
, calcule os seguintes valores:
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo:
Esboce o gráfico das seguintes funções: