Prove que e faça o gráfico dessa função.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que e também para fazer o gráfico dessa função. Vamos usar trigonometria e algumas identidades básicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . A função nos dá o ângulo cujo seno é , e a nos dá o ângulo cujo cosseno é .

Passo 3

Vamos começar provando que . Imagine um triângulo retângulo onde um dos ângulos é . O seno desse ângulo é oposto sobre a hipotenusa, então se a hipotenusa for 1, o cateto oposto será . Usando o teorema de Pitágoras:
Como o cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa, temos:

Passo 4

Agora, vamos provar que . Vamos usar a mesma lógica. Considere um triângulo retângulo onde um dos ângulos é . O cosseno desse ângulo é adjacente sobre a hipotenusa, então se a hipotenusa for 1, o cateto adjacente será . Usando o teorema de Pitágoras novamente:
Como o seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa, temos:

Passo 5

Então, mostramos que tanto quanto são iguais a . Portanto, podemos concluir que:

Resposta

A igualdade foi comprovada, e o gráfico dessa função é uma meia-circunferência no intervalo , representando a função .

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Para , calcule os seguintes valores:
Para , calcule os seguintes valores:
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo:
Esboce o gráfico das seguintes funções: