Esboce o gráfico das seguintes funções. f(x) = { x² - 2x, se x ≥ 0; 1 - x, se x < 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função:
Esse exercício está dentro do tópico de funções definidas por partes na matemática. Para resolver, a gente vai precisar analisar cada parte da função separadamente e depois juntar tudo no gráfico final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função onde :
Essa é uma função quadrática, que gera uma parábola. Para desenhar, precisamos achar algumas coisas importantes: as raízes (onde a função cruza o eixo ), o vértice (o ponto mais alto ou baixo da parábola) e saber se a parábola abre pra cima ou pra baixo.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da função quadrática . As raízes são os valores de que fazem :
Então, as raízes são e .

Passo 4

Agora, vamos achar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice de uma função quadrática é:
Aqui, e , então:
Para achar a coordenada , substituímos na função:
Então, o vértice é . Como , a parábola abre pra cima.

Passo 5

Agora, vamos analisar a parte da função para :
Essa é uma função linear, uma reta com coeficiente angular e intercepto . Para desenhar, basta encontrar dois pontos e traçar a reta.

Passo 6

Vamos encontrar dois pontos para a reta :
  • Para :
  • Para :
Com esses pontos, podemos desenhar a reta que desce com inclinação de -1.

Passo 7

Vamos juntar as duas partes da função no gráfico:
  • Para , temos a reta .
  • Para , temos a parábola .
No ponto , vemos que:
Isso significa que há um salto no gráfico em , passando de na reta para na parábola.

Resposta

O gráfico da função é composto por duas partes:
  1. Para : Uma reta descendo com a equação , passando pelos pontos e .
  2. Para : Uma parábola que abre para cima, com vértice em e raízes em e .
No ponto , a função tem um salto, indo de na parte da reta para na parte da parábola. O esboço final mostra a reta à esquerda de e a parábola à direita, conectadas nesse ponto de descontinuidade.

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