Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função
. Isso envolve conhecimentos de funções, propriedades de raízes quadradas e análise de comportamentos de funções. Vamos precisar analisar o domínio da função, o comportamento dela para valores grandes de
, derivar para entender onde ela está aumentando ou diminuindo, e identificar pontos importantes para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Mas
é sempre não negativo e adicionando 1, fica sempre positivo. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo e negativo. Isso nos ajuda a entender como a função se comporta nas extremidades do gráfico.
Para
:
Então:
Quando
cresce,
tende a zero. Portanto,
tende a 0.
Para
:
Então:
Aqui,
tende a
quando
.
Passo 4
Vamos derivar a função para encontrar onde ela está aumentando ou diminuindo. A derivada de
é:
Passo 5
Analisando a derivada
, queremos ver onde ela é positiva, negativa ou zero.
Resolvendo
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso é impossível, então a derivada nunca é zero. Isso significa que a função nunca muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Passo 6
Vamos analisar o sinal da derivada:
- Se
, é positivo menor que 1, então . A função está decrescendo. - Se
, é negativo, então . A função também está decrescendo.
Portanto, a função está sempre decrescendo.
Passo 7
Vamos encontrar o valor de
para ter um ponto específico no gráfico:
Então, temos o ponto
.
Resposta
Com base na análise, o gráfico de
é uma curva que está sempre decrescendo, passando pelo ponto
. À medida que
tende a
,
se aproxima de 0, e quando
tende a
,
tende a
. O esboço do gráfico refletirá esse comportamento.