Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x) = raiz(x^2 + 1) - x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função . Isso envolve conhecimentos de funções, propriedades de raízes quadradas e análise de comportamentos de funções. Vamos precisar analisar o domínio da função, o comportamento dela para valores grandes de , derivar para entender onde ela está aumentando ou diminuindo, e identificar pontos importantes para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Mas é sempre não negativo e adicionando 1, fica sempre positivo. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito positivo e negativo. Isso nos ajuda a entender como a função se comporta nas extremidades do gráfico.
Para :
Então:
Quando cresce, tende a zero. Portanto, tende a 0.
Para :
Então:
Aqui, tende a quando .

Passo 4

Vamos derivar a função para encontrar onde ela está aumentando ou diminuindo. A derivada de é:

Passo 5

Analisando a derivada , queremos ver onde ela é positiva, negativa ou zero.
Resolvendo :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso é impossível, então a derivada nunca é zero. Isso significa que a função nunca muda de crescente para decrescente ou vice-versa.

Passo 6

Vamos analisar o sinal da derivada:
  • Se , é positivo menor que 1, então . A função está decrescendo.
  • Se , é negativo, então . A função também está decrescendo.
Portanto, a função está sempre decrescendo.

Passo 7

Vamos encontrar o valor de para ter um ponto específico no gráfico:
Então, temos o ponto .

Resposta

Com base na análise, o gráfico de é uma curva que está sempre decrescendo, passando pelo ponto . À medida que tende a , se aproxima de 0, e quando tende a , tende a . O esboço do gráfico refletirá esse comportamento.

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