Um estudo de eficiência realizado em uma fábrica durante o turno da manhã mostra que um operário que começa a trabalhar às
terá produzido, em média,
unidades
horas mais tarde. Em que hora da manhã os operários são mais produtivos?
Passo 1
Vamos analisar o problema: uma fábrica mediu a produtividade de um operário que começa a trabalhar às
da manhã. A quantidade de unidades produzidas após
horas é dada pela função
. Nosso objetivo é descobrir em que hora da manhã os operários são mais produtivos. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto de máximo dessa função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar quando a função
atinge seu valor máximo. Para isso, vamos calcular a derivada da função em relação a
, que nos mostra como a produtividade varia ao longo do tempo.
A função dada é:
Calculando a derivada:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, onde a produtividade pode ser máxima ou mínima, vamos igualar a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
que satisfazem essa condição.
Passo 4
Primeiro, dividimos a equação por
para simplificar:
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática
:
Aqui,
,
e
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando a raiz:
Então:
Aproximando
:
Como o tempo
não pode ser negativo, desconsideramos
.
Passo 6
Portanto, o ponto de máximo ocorre aproximadamente 6,6056 horas após as
da manhã. Convertendo isso para horas e minutos:
Então, 6 horas e 36 minutos após as
, ou seja:
Resposta
Os operários são mais produtivos às aproximadamente
(2h36m da tarde).