Um estudo de eficiência realizado em uma fábrica durante o turno da manhã mostra que um operário que começa a trabalhar às 8 h terá produzido, em média, Q(t) = -t^3 + 9 t^2 + 12 t unidades t horas mais tarde. Em que hora da manhã os operários são mais produtivos?

Passo 1

Vamos analisar o problema: uma fábrica mediu a produtividade de um operário que começa a trabalhar às da manhã. A quantidade de unidades produzidas após t horas é dada pela função . Nosso objetivo é descobrir em que hora da manhã os operários são mais produtivos. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto de máximo dessa função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar quando a função Q(t) atinge seu valor máximo. Para isso, vamos calcular a derivada da função em relação a t, que nos mostra como a produtividade varia ao longo do tempo.
A função dada é:
Calculando a derivada:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, onde a produtividade pode ser máxima ou mínima, vamos igualar a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de t que satisfazem essa condição.

Passo 4

Primeiro, dividimos a equação por para simplificar:
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática :
Aqui, , e .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando a raiz:
Então:
Aproximando :
Como o tempo t não pode ser negativo, desconsideramos .

Passo 6

Portanto, o ponto de máximo ocorre aproximadamente 6,6056 horas após as da manhã. Convertendo isso para horas e minutos:
Então, 6 horas e 36 minutos após as , ou seja:

Resposta

Os operários são mais produtivos às aproximadamente (2h36m da tarde).

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