Sendo g(x) = x / (x^2 + 9), determine
e) Esboce o gráfico de g(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função . Vamos usar conhecimentos de funções racionais, como encontrar assíntotas, interceptos, domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, e analisar o comportamento da função para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que não deixam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não existe.
Como é sempre não negativo e nunca pode ser igual a -9, o denominador nunca será zero. Então, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos achar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos e .
  • Intercepto com o eixo : ocorre quando .
Então, o intercepto com o eixo é .
  • Interceptos com o eixo : ocorre quando .
Portanto, o intercepto com o eixo também é .

Passo 4

Vamos encontrar as assíntotas da função.
  • Assíntotas horizontais: analisamos o comportamento da função quando tende para ou .
Então, existe uma assíntota horizontal na linha .
  • Assíntotas verticais: seriam valores de que zeram o denominador, mas como vimos no Passo 2, o denominador nunca é zero. Portanto, não há assíntotas verticais.

Passo 5

Vamos analisar a simetria da função.
Como , a função é ímpar. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 6

Agora, vamos estudar o comportamento da função em termos de crescimento e decrescimento, para isso, podemos derivar a função.
Primeiro, derivamos :
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de :
Então, a função está crescente quando está entre -3 e 3, e decrescente fora desse intervalo.

Resposta

Com todas as análises feitas, podemos esboçar o gráfico de assim:
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Intercepto: Apenas em .
  • Assíntota horizontal: .
  • Simetria: Ímpar, simétrico em relação à origem.
  • Crescimento: De a .
  • Decrescimento: Para e .
O gráfico será uma curva que passa pela origem, aproxime-se da linha conforme vai para , aumenta até e diminui depois, formando uma espécie de “S” alongado centralizado na origem.

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