Sendo
, determine
e) Esboce o gráfico de
.
e) Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Vamos usar conhecimentos de funções racionais, como encontrar assíntotas, interceptos, domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, e analisar o comportamento da função para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que não deixam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não existe.
Como
é sempre não negativo e nunca pode ser igual a -9, o denominador nunca será zero. Então, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos achar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos
e
.
- Intercepto com o eixo
: ocorre quando .
Então, o intercepto com o eixo
é
.
- Interceptos com o eixo
: ocorre quando .
Portanto, o intercepto com o eixo
também é
.
Passo 4
Vamos encontrar as assíntotas da função.
- Assíntotas horizontais: analisamos o comportamento da função quando
tende para ou .
Então, existe uma assíntota horizontal na linha
.
- Assíntotas verticais: seriam valores de
que zeram o denominador, mas como vimos no Passo 2, o denominador nunca é zero. Portanto, não há assíntotas verticais.
Passo 5
Vamos analisar a simetria da função.
Como
, a função é ímpar. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 6
Agora, vamos estudar o comportamento da função em termos de crescimento e decrescimento, para isso, podemos derivar a função.
Primeiro, derivamos
:
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de
:
Então, a função está crescente quando
está entre -3 e 3, e decrescente fora desse intervalo.
Resposta
Com todas as análises feitas, podemos esboçar o gráfico de
assim:
- Domínio: Todos os números reais.
- Intercepto: Apenas em
. - Assíntota horizontal:
. - Simetria: Ímpar, simétrico em relação à origem.
- Crescimento: De
a . - Decrescimento: Para
e .
O gráfico será uma curva que passa pela origem, aproxime-se da linha
conforme
vai para
, aumenta até
e diminui depois, formando uma espécie de “S” alongado centralizado na origem.