Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
10. é o limite da região entre os círculos e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
A curva é o contorno da região entre os círculos e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada por .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva positivamente orientada e uma região delimitada por :
Aqui, e . Vamos usar essa fórmula para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região entre os dois círculos.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais que aparecem na expressão do Teorema de Green:
Então, a diferença será:
Passo 4
A região está entre os círculos e , que são dois círculos concêntricos com raios 2 e 3, respectivamente. Para facilitar o cálculo, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nessa forma, a área diferencial é .
Então, a integral dupla fica:
Em coordenadas polares, , então:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro (sobre ):