Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
10. integralC(1-y^3) d x+(x^3+e^y^2) d y, C é o limite da região entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
integralC (1 - y^3 ) dx + ( x^3 + e^y^2 ) dy
A curva é o contorno da região entre os círculos e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA positivamente orientada e uma região delimitada por :
Aqui, e . Vamos usar essa fórmula para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região entre os dois círculos.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais que aparecem na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^3 + e^y^2 ) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( 1 - y^3 ) = -3y^2
Então, a diferença será:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2

Passo 4

A região integral duplaD 3x^2 + 3y^2 , dA = 3 integral duplaD (x^2 + y^2) , dA está entre os círculos 3 integral duplaD r^2 cdot r , dr , dtheta = 3 integral0^2pi integral2^3 r^3 , dr , dtheta e , que são dois círculos concêntricos com raios 2 e 3, respectivamente. Para facilitar o cálculo, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nessa forma, a área diferencial é .
Então, a integral dupla fica:
Em coordenadas polares, , então:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro (sobre integral2^3 r^3 , dr = [ r^44 ]2^3 = 3^44 - 2^44 = 814 - 164 = 654 ):
3 integral0^2pi 654 , dtheta = 1954 integral0^2pi dtheta = 1954 cdot 2pi = 1952 pi
Agora, a integral externa (sobre ):

Resposta

A integral de linha é igual a .

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