integral0^3 integral1^e^y(x+y) d x d y

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral dupla . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar em duas variáveis, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função em relação a , mantendo como uma constante. A integral de em relação a é e a integral de em relação a é .

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração para [ (e^y)^22 + y cdot e^y ] - [ 1^22 + y cdot 1 ] , que vão de 1 a . Substituímos esses limites na expressão que encontramos:

Passo 4

Simplificando a expressão, temos:
e^2y2 + y e^y - 12 - y

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^3 ( e^2y2 ) dy + integral0^3 (y e^y) dy - integral0^3 ( 12 ) dy - integral0^3 y , dy , de 0 a 3. Vamos separar as integrais:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. usa integração por partes, resultando em

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 3:

Passo 8

Agora, somamos todas as partes:
e^6 - 14 + 2e^3 + 1 - 32 - 92
Simplificando:
e^6 - 14 + 2e^3 + 1 - 6 = e^6 - 14 + 2e^3 - 5

Resposta

A integral dupla é igual a .

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