Esboce o gráfico das seguintes funções f: R -> R :
e) f(x) = |x + 1| - |x - 1|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso está ligado ao estudo de funções absolutas, que basicamente transformam números negativos em positivos. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções absolutas se comportam e como combiná-las para formar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso acontece quando e .
  • Para , temos .
  • Para , temos .
Esses pontos são importantes porque dividem a linha dos números reais em diferentes intervalos onde a função pode se comportar de maneira diferente.

Passo 3

Vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos com base nos pontos que encontramos:
  1. Intervalo 1:
  2. Intervalo 2:
  3. Intervalo 3:
Em cada intervalo, vamos analisar como os termos e se comportam.

Passo 4

Intervalo 1:
  • então
  • então
Agora, substituímos na função:
Então, para , .

Passo 5

Intervalo 2:
  • então
  • então
Substituindo na função:
Então, para , .

Passo 6

Intervalo 3:
  • então
  • então
Substituindo na função:
Então, para , .

Passo 7

Agora que temos a expressão de em cada intervalo, podemos esboçar o gráfico:
  • Para : → linha horizontal em -2.
  • Para : → reta que passa pela origem com inclinação 2.
  • Para : → linha horizontal em 2.
Vamos juntar essas partes para formar o gráfico completo.

Resposta

O gráfico da função é composto por três partes:
  1. Uma linha horizontal em para .
  2. Uma reta inclinada com equação no intervalo .
  3. Uma linha horizontal em para .
Esse gráfico forma uma “V” voltada para cima entre e , conectando-se a linhas horizontais nas extremidades.

Exercícios relacionados