Obtenha a solução geral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Então, substituindo na equação:
Como
nunca é zero, temos que
. Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 4
Então, as soluções da equação homogênea são
, que simplifica para:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equaç��o completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos tentar uma solução particular também na forma de um polinômio:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Isso nos dá
, mas isso não faz sentido porque
deveria ser uma constante. Então, precisamos ajustar nossa suposição para uma forma que funcione.
Passo 7
Como a tentativa inicial não funcionou, vamos modificar nossa abordagem e usar o método do fator integrante. Reescrevemos a equação diferencial:
Vamos fazer uma substituição: seja
. Então, a equação fica:
Passo 8
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para
:
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Usando integração por partes:
Então:
Passo 10
Lembrando que
, agora integramos para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
(d)
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
e)
e)
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e - intersecções com o eixo
, se houverem.
c)
(d)