Obtenha a solução geral

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Então, substituindo na equação:
Como nunca é zero, temos que . Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 4

Então, as soluções da equação homogênea são , que simplifica para:
Aqui, e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equaç��o completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos tentar uma solução particular também na forma de um polinômio:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Isso nos dá , mas isso não faz sentido porque deveria ser uma constante. Então, precisamos ajustar nossa suposição para uma forma que funcione.

Passo 7

Como a tentativa inicial não funcionou, vamos modificar nossa abordagem e usar o método do fator integrante. Reescrevemos a equação diferencial:
Vamos fazer uma substituição: seja . Então, a equação fica:

Passo 8

Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para :
O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Usando integração por partes:
Então:

Passo 10

Lembrando que , agora integramos para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

(d)
Esboce o gráfico das seguintes funções :
e)
Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo e
  • intersecções com o eixo , se houverem.
    c)
(d)