Esboce o gráfico das seguintes funções :
d)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A função que precisamos esboçar é . Aqui, estamos lidando com funções de valor absoluto, que são importantes em matemática para representar distâncias e têm gráficos com “v” característicos. Para resolver isso, vamos analisar a função em diferentes intervalos de para eliminar os valores absolutos e então desenhar o gráfico resultante.

Passo 2

Vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Temos e . Essas expressões são zero quando e , respectivamente. Então, os intervalos que vamos considerar são:

Passo 3

No intervalo :
  • é negativo, então
  • também é negativo, então
    Somando as duas:
Então, para , a função é .

Passo 4

No intervalo :
  • é positivo ou zero, então
  • é negativo ou zero, então
    Somando as duas:
Então, para , a função é .

Passo 5

No intervalo :
  • é positivo, então
  • também é positivo, então
    Somando as duas:
Então, para , a função é .

Passo 6

Agora que temos as expressões da função em cada intervalo, podemos esboçar o gráfico:
  • Para , a função é uma reta com inclinação -2.
  • Para , a função é constante e igual a 2.
  • Para , a função é uma reta com inclinação 2.
    Essas três partes se conectam nos pontos e , formando um gráfico em formato de “V” com uma parte plana no meio.

Resposta

O gráfico da função é composto por duas retas inclinadas e uma parte constante:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
    O gráfico forma um “V” com uma parte horizontal no meio, conectando os pontos onde e .

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Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; quando
Prove que para todo .
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo:
, com .
(a) Determine as quantidades a seguir, se existirem.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(b) Esboce o gráfico de .