Prove que para todo .

Passo 1

Beleza! A gente vai provar que a soma é maior que para todo . Vamos usar conceitos de séries e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos provar. Temos a soma dos inversos das raízes quadradas dos primeiros números naturais e queremos mostrar que essa soma é maior que a raiz quadrada de .

Passo 3

Para isso, vamos comparar cada termo da soma com uma expressão que facilite a comparação. Observe que para . Essa desigualdade nos ajuda a simplificar a soma.

Passo 4

Agora, somamos essa desigualdade para de 1 até :

Passo 5

Perceba que a soma do lado direito é uma telescóica:
Aqui, usamos a propriedade de que .

Passo 6

Então, temos:
Mas queremos provar que . Como para todo , a desigualdade que queremos provar é satisfeita.

Resposta

Portanto, provamos que para todo , .

Exercícios relacionados

Prove que para todo .
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; quando
Esboce o gráfico das seguintes funções :
d)