Prove que
para todo
.
Passo 1
Beleza! A gente vai provar que a soma
é maior que
para todo
. Vamos usar conceitos de séries e desigualdades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos provar. Temos a soma dos inversos das raízes quadradas dos primeiros
números naturais e queremos mostrar que essa soma é maior que a raiz quadrada de
.
Passo 3
Para isso, vamos comparar cada termo da soma com uma expressão que facilite a comparação. Observe que
para
. Essa desigualdade nos ajuda a simplificar a soma.
Passo 4
Agora, somamos essa desigualdade para
de 1 até
:
Passo 5
Perceba que a soma do lado direito é uma telescóica:
Aqui, usamos a propriedade de que
.
Passo 6
Então, temos:
Mas queremos provar que
. Como
para todo
, a desigualdade que queremos provar é satisfeita.
Resposta
Portanto, provamos que
para todo
,
.
Exercícios relacionados
Prove que
para todo
.
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
d)
d)