Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo: , com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região de integração definida por e . Nosso objetivo é calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como converter a integral para esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A expressão representa um círculo centrado na origem com raio . A condição limita essa região à parte do círculo onde a coordenada é maior ou igual a 1. Então, é a parte do círculo que está à direita da linha .
Passo 3
Agora, vamos converter isso para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área se transforma em . A desigualdade vira , ou seja, .
Passo 4
A condição em coordenadas polares fica . Podemos rearranjar isso para ou . Como também deve ser menor ou igual a , temos que , o que nos dá o intervalo para .
Passo 5
Vamos encontrar os limites para . A condição é equivalente a . Isso ocorre quando está entre e .
Passo 6
Agora, podemos definir os limites de integração em coordenadas polares:
varia de a .
Para cada , varia de até .
Passo 7
Vamos reescrever a integral dupla usando coordenadas polares: