Esboce a região de integração R e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre R em cada item abaixo:
integral duplaR(x^2+y^2)^-2 d A, com R=(x, y): x^2+y^2 <= 2, x >= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região de integração definida por e . Nosso objetivo é calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como converter a integral para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A expressão representa um círculo centrado na origem com raio . A condição limita essa região à parte do círculo onde a coordenada é maior ou igual a 1. Então, é a parte do círculo que está à direita da linha .

Passo 3

Agora, vamos converter isso para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área se transforma em . A desigualdade vira , ou seja, .

Passo 4

A condição em coordenadas polares fica . Podemos rearranjar isso para ou . Como também deve ser menor ou igual a , temos que , o que nos dá o intervalo para .

Passo 5

Vamos encontrar os limites para . A condição é equivalente a . Isso ocorre quando está entre e .

Passo 6

Agora, podemos definir os limites de integração em coordenadas polares:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de até .

Passo 7

Vamos reescrever a integral dupla usando coordenadas polares:
integral duplaR(x^2+y^2)^-2 dA = integral-pi4^pi4 integral1costheta^raiz2 (r^2)^-2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral:
(r^2)^-2 cdot r = r^-4 cdot r = r^-3
Então, a integral fica:
integral-pi4^pi4 integral1costheta^raiz2 r^-3 , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral em integral1costheta^raiz2 r^-3 , dr = [ r^-2-2 ]1costheta^raiz2 = -12( (raiz2)^-2 - (1costheta)^-2 ) primeiro:
(raiz2)^-2 = 12, (1costheta)^-2 = cos^2theta
Calculando as potências:
-12( 12 - cos^2theta ) = 12( cos^2theta - 12 )
Substituindo de volta:

Passo 9

Agora, integramos em integral-pi4^pi4 12( cos^2theta - 12 ) dtheta = 12 ( integral-pi4^pi4 cos^2theta , dtheta - integral-pi4^pi4 12 , dtheta ) :
Lembrando que .

Passo 10

Calculando as integrais:
12 ( [ theta2 + sin(2theta)4 ]-pi4^pi4 - 12 [ theta ]-pi4^pi4 )
Substituindo os limites:
12 ( ( pi8 + sin(pi2)4 ) - ( -pi8 + sin(-pi2)4 ) - 12 ( pi4 - (-pi4) ) )
Simplificando:
12 ( pi4 + 14 + pi2 ) = 12 cdot pi2 = pi4

Resposta

A integral dupla sobre a região é igual a .

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