Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo:
, com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região de integração definida por e . Nosso objetivo é calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como converter a integral para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A expressão representa um círculo centrado na origem com raio . A condição limita essa região à parte do círculo onde a coordenada é maior ou igual a 1. Então, é a parte do círculo que está à direita da linha .

Passo 3

Agora, vamos converter isso para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área se transforma em . A desigualdade vira , ou seja, .

Passo 4

A condição em coordenadas polares fica . Podemos rearranjar isso para ou . Como também deve ser menor ou igual a , temos que , o que nos dá o intervalo para .

Passo 5

Vamos encontrar os limites para . A condição é equivalente a . Isso ocorre quando está entre e .

Passo 6

Agora, podemos definir os limites de integração em coordenadas polares:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de até .

Passo 7

Vamos reescrever a integral dupla usando coordenadas polares:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral em primeiro:
Calculando as potências:
Substituindo de volta:

Passo 9

Agora, integramos em :
Lembrando que .

Passo 10

Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Resposta

A integral dupla sobre a região é igual a .

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Esboce o gráfico das seguintes funções :
d)
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; quando
(a) Determine as quantidades a seguir, se existirem.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(b) Esboce o gráfico de .
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo:
, com .