Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região de integração
definida por
e
. Nosso objetivo é calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como converter a integral para esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A expressão
representa um círculo centrado na origem com raio
. A condição
limita essa região à parte do círculo onde a coordenada
é maior ou igual a 1. Então,
é a parte do círculo
que está à direita da linha
.
Passo 3
Agora, vamos converter isso para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
se transforma em
. A desigualdade
vira
, ou seja,
.
Passo 4
A condição
em coordenadas polares fica
. Podemos rearranjar isso para
ou
. Como
também deve ser menor ou igual a
, temos que
, o que nos dá o intervalo para
.
Passo 5
Vamos encontrar os limites para
. A condição
é equivalente a
. Isso ocorre quando
está entre
e
.
Passo 6
Agora, podemos definir os limites de integração em coordenadas polares:
-
varia de a . - Para cada
, varia de até .
Passo 7
Vamos reescrever a integral dupla usando coordenadas polares:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Calculando as potências:
Substituindo de volta:
Passo 9
Agora, integramos em
:
Lembrando que
.
Passo 10
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
é igual a
.