Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. u=raizr^2+s^2, r=y+x cos t, s=x+y sen t; partial upartial x, partial upartial y, partial upartial t quando x=1, y=2, t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando a Regra da Cadeia. A matéria aqui é cálculo de derivadas parciais e a Regra da Cadeia vai nos ajudar a derivar funções compostas. Vamos precisar entender como derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as relações entre as funções. Temos:
u = raizr^2 + s^2, r = y + x cos t, s = x + y sin t
Aqui, depende de e , que por sua vez dependem de , e . Vamos precisar derivar em relação a cada uma dessas variáveis usando a Regra da Cadeia.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de partial upartial r = rraizr^2 + s^2, partial upartial s = sraizr^2 + s^2 em relação a partial rpartial x = cos t, partial spartial x = 1 , ou seja, partial upartial x = partial upartial r cdot partial rpartial x + partial upartial s cdot partial spartial x = r cos t + sraizr^2 + s^2 .
Primeiro, derivamos em relação a e :
Agora, derivamos e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial rpartial y = 1, partial spartial y = sin t .
Primeiro, derivamos partial upartial y = partial upartial r cdot partial rpartial y + partial upartial s cdot partial spartial y = r + s sin traizr^2 + s^2 e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar partial rpartial t = -x sin t, partial spartial t = y cos t .
Primeiro, derivamos partial upartial t = partial upartial r cdot partial rpartial t + partial upartial s cdot partial spartial t = r (-x sin t) + s (y cos t)raizr^2 + s^2 e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores dados: r = 2 + 1 cdot cos 0 = 2 + 1 = 3 , s = 1 + 2 cdot sin 0 = 1 + 0 = 1 , partial upartial x = 3 cdot cos 0 + 1raiz10 = 3 cdot 1 + 1raiz10 = 4raiz10 .
Primeiro, calculamos partial upartial y = 3 + 1 cdot sin 0raiz10 = 3 + 0raiz10 = 3raiz10 e partial upartial t = 3 cdot (-1 cdot sin 0) + 1 cdot 2 cos 0raiz10 = 0 + 2 cdot 1raiz10 = 2raiz10 :
Então, .
Agora, substituímos esses valores nas derivadas:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais avaliadas em partial upartial x = 4raiz10, partial upartial y = 3raiz10, partial upartial t = 2raiz10 , , são:

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