Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; quando

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando a Regra da Cadeia. A matéria aqui é cálculo de derivadas parciais e a Regra da Cadeia vai nos ajudar a derivar funções compostas. Vamos precisar entender como derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as relações entre as funções. Temos:
Aqui, depende de e , que por sua vez dependem de , e . Vamos precisar derivar em relação a cada uma dessas variáveis usando a Regra da Cadeia.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, derivamos em relação a e :
Agora, derivamos e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular .
Primeiro, derivamos e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar .
Primeiro, derivamos e em relação a :
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores dados: , , .
Primeiro, calculamos e :
Então, .
Agora, substituímos esses valores nas derivadas:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais avaliadas em , , são:

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Prove que para todo .
Prove que para todo .
Esboce o gráfico das seguintes funções :
d)
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo:
, com .