Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
usando a Regra da Cadeia. A matéria aqui é cálculo de derivadas parciais e a Regra da Cadeia vai nos ajudar a derivar funções compostas. Vamos precisar entender como derivar funções que dependem de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as relações entre as funções. Temos:
Aqui,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
e
. Vamos precisar derivar
em relação a cada uma dessas variáveis usando a Regra da Cadeia.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, derivamos
em relação a
e
:
Agora, derivamos
e
em relação a
:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
Primeiro, derivamos
e
em relação a
:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar
.
Primeiro, derivamos
e
em relação a
:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores dados:
,
,
.
Primeiro, calculamos
e
:
Então,
.
Agora, substituímos esses valores nas derivadas:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais avaliadas em
,
,
são:
Exercícios relacionados
Prove que
para todo
.
Prove que
para todo
.
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
d)
d)
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.