g(x)= x & se x<1 3 & se x=1 2-x^2 & se 12
(a) Determine as quantidades a seguir, se existirem.
(i) lim x 1^- g(x)
(ii) lim x 1 g(x)
(iii) g(1)
(iv) lim x 2^- g(x)
(v) lim x 2^+ g(x)
(vi) lim x 2 g(x)
(b) Esboce o gráfico de g.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes, o que significa que a expressão de muda dependendo do valor de . O conteúdo que vamos usar envolve limites e valores de funções em pontos específicos. Precisamos calcular alguns limites e o valor da função em determinados pontos, além de esboçar o gráfico da função. Vamos por partes para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da função g(x)= x & se x < 1 3 & se x = 1 2 - x^2 & se 1 < x <= 2 x - 3 & se x > 2 :
Isso significa que:
  • Para menor que 1, .
  • Em , .
  • Para entre 1 e 2, .
  • Para maior que 2, .
Entender isso é fundamental para calcular os limites e outros valores.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a)(i): limx 1^- g(x) = limx 1^- x = 1 .
Esse limite é o que acontece com quando se aproxima de 1 vindo pela esquerda (valores menores que 1).
Na nossa função, para , . Então, quando se aproxima de 1 pela esquerda:

Passo 4

Agora, vamos para (a)(ii): limx 1^+ g(x) = limx 1^+ (2 - x^2) = 2 - (1)^2 = 1 .
Esse limite existe se os limites laterais (pela esquerda e pela direita) forem iguais.
Já calculamos limx 1 g(x) = 1 .
Agora, vamos calcular , ou seja, aproximando-se de 1 pela direita (valores maiores que 1).
Para , . Então:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais (ambos 1), temos:

Passo 5

Seguimos para (a)(iii): g(1) = 3 .
Olhando a definição da função, para :
Ou seja, o valor da função em é 3.

Passo 6

Vamos para (a)(iv): limx 2^- g(x) = limx 2^- (2 - x^2) = 2 - (2)^2 = 2 - 4 = -2 .
Esse é o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2).
Para , . Então:

Passo 7

Agora, (a)(v): limx 2^+ g(x) = limx 2^+ (x - 3) = 2 - 3 = -1 .
Esse é o limite de quando se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2).
Para , . Então:

Passo 8

Finalmente, (a)(vi): limx 2^- g(x) = -2 limx 2^+ g(x) = -1 .
Para que esse limite exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Já temos:
Como , o limite geral não existe.

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b): Esboçar o gráfico de .
Para isso, vamos identificar os pontos chave e como a função se comporta em cada intervalo:
  1. Para : — uma reta crescente.
  2. Em : — um ponto separado, diferente da tendência das laterais.
  3. Para : — uma parábola que desce.
  4. Para : — outra reta crescente.
No gráfico, marcaríamos essas partes com atenç��o aos pontos de mudança em e , indicando continuidade ou descontinuidade conforme os limites calculados.

Resposta

(a)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi) não existe.
(b) O gráfico de é composto por uma reta crescente para , um ponto isolado em com valor 3, uma parábola decrescente entre , e outra reta crescente para , com descontinuidades em e .

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