(a) Determine as quantidades a seguir, se existirem.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(b) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes, o que significa que a expressão de muda dependendo do valor de . O conteúdo que vamos usar envolve limites e valores de funções em pontos específicos. Precisamos calcular alguns limites e o valor da função em determinados pontos, além de esboçar o gráfico da função. Vamos por partes para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da função :
Isso significa que:
  • Para menor que 1, .
  • Em , .
  • Para entre 1 e 2, .
  • Para maior que 2, .
Entender isso é fundamental para calcular os limites e outros valores.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a)(i): .
Esse limite é o que acontece com quando se aproxima de 1 vindo pela esquerda (valores menores que 1).
Na nossa função, para , . Então, quando se aproxima de 1 pela esquerda:

Passo 4

Agora, vamos para (a)(ii): .
Esse limite existe se os limites laterais (pela esquerda e pela direita) forem iguais.
Já calculamos .
Agora, vamos calcular , ou seja, aproximando-se de 1 pela direita (valores maiores que 1).
Para , . Então:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais (ambos 1), temos:

Passo 5

Seguimos para (a)(iii): .
Olhando a definição da função, para :
Ou seja, o valor da função em é 3.

Passo 6

Vamos para (a)(iv): .
Esse é o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2).
Para , . Então:

Passo 7

Agora, (a)(v): .
Esse é o limite de quando se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2).
Para , . Então:

Passo 8

Finalmente, (a)(vi): .
Para que esse limite exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Já temos:
Como , o limite geral não existe.

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b): Esboçar o gráfico de .
Para isso, vamos identificar os pontos chave e como a função se comporta em cada intervalo:
  1. Para : — uma reta crescente.
  2. Em : — um ponto separado, diferente da tendência das laterais.
  3. Para : — uma parábola que desce.
  4. Para : — outra reta crescente.
No gráfico, marcaríamos essas partes com atenç��o aos pontos de mudança em e , indicando continuidade ou descontinuidade conforme os limites calculados.

Resposta

(a)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi) não existe.
(b) O gráfico de é composto por uma reta crescente para , um ponto isolado em com valor 3, uma parábola decrescente entre , e outra reta crescente para , com descontinuidades em e .

Exercícios relacionados

Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo:
, com .
Esboce o gráfico das seguintes funções :
d)
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo:
, com .
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo:
, com .