integral(t / 2) cos (4 t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição (ou mudança de variável). Vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão integral 12 t cos(4 t^2) , dt . Isso dá . Então, nossa integral fica:
Agora, observe que dentro do cosseno temos , que é uma função que podemos chamar de . Vamos usar a substituição para facilitar o cálculo.

Passo 3

Definimos dudt = 8 t Rightarrow du = 8 t , dt . Agora, precisamos achar t , dt = du8 em termos de . Derivando em relação a , temos:
Queremos expressar em termos de , então:

Passo 4

Vamos substituir tudo na nossa integral original. Sabemos que integral 12 t cos(4 t^2) , dt = 12 integral cos(u) cdot du8 e 12 cdot 18 = 116 , então:
116 integral cos(u) , du
Simplificando os constantes:
Então, a integral vira:

Passo 5

Agora, vamos integrar 116 integral cos(u) , du = 116 sin(u) + C em relação a . A integral de é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por último, voltamos para a variável original 116 sin(u) + C = 116 sin(4 t^2) + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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