Nos itens abaixo, determine o domínio, descreva as curvas de nível e represente graficamente as superfícies
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar o domínio, descrever as curvas de nível e representar graficamente as superfícies da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e entender um pouco sobre geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida.
Aqui, a função
depende apenas de
. Não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos, então o domínio é todo o conjunto dos números reais para
e
.
Então, o domínio é:
Isso significa que qualquer par de números reais
está dentro do domínio da função.
Passo 3
Agora, vamos descrever as curvas de nível da função. Curvas de nível são as linhas no plano
onde a função assume um valor constante. Para isso, definimos
, onde
é uma constante.
Para
, temos:
Resolvendo para
:
Isso mostra que, para cada valor de
, a curva de nível é uma linha vertical no plano
onde
é constante e igual a
.
Por exemplo:
- Se
, a curva de nível é . - Se
, a curva de nível é . - E assim por diante.
Então, todas as curvas de nível são linhas verticais paralelas umas às outras, deslocadas ao longo do eixo
.
Passo 4
Por fim, vamos representar graficamente a superfície da função
. Como estamos lidando com uma função de duas variáveis, a superfície será tridimensional.
A equação
pode ser reescrita como:
Essa é a equação de um plano inclinado no espaço 3D.
Para visualizar:
- Quando
, . - Conforme
aumenta, diminui linearmente. - O eixo
não influencia o valor de , então o plano é paralelo ao eixo .
Imagine um plano que corta o eixo
no ponto
e se estende indefinidamente ao longo do eixo
, inclinando-se na direção negativa do eixo
.
Resposta
- Domínio: Todo o conjunto dos números reais
. - Curvas de nível: Linhas verticais
para cada constante . - Superfície: Um plano inclinado
no espaço tridimensional, paralelo ao eixo e inclinando-se negativamente ao longo do eixo .