Nos itens abaixo, determine o domínio, descreva as curvas de nível e represente graficamente as superfícies
f(x, y) = 4 - x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar o domínio, descrever as curvas de nível e representar graficamente as superfícies da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e entender um pouco sobre geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida.
Aqui, a função depende apenas de . Não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos, então o domínio é todo o conjunto dos números reais para e .
Então, o domínio é:
Isso significa que qualquer par de números reais está dentro do domínio da função.

Passo 3

Agora, vamos descrever as curvas de nível da função. Curvas de nível são as linhas no plano onde a função assume um valor constante. Para isso, definimos , onde é uma constante.
Para , temos:
Resolvendo para :
Isso mostra que, para cada valor de , a curva de nível é uma linha vertical no plano onde é constante e igual a .
Por exemplo:
  • Se , a curva de nível é .
  • Se , a curva de nível é .
  • E assim por diante.
Então, todas as curvas de nível são linhas verticais paralelas umas às outras, deslocadas ao longo do eixo .

Passo 4

Por fim, vamos representar graficamente a superfície da função . Como estamos lidando com uma função de duas variáveis, a superfície será tridimensional.
A equação pode ser reescrita como:
Essa é a equação de um plano inclinado no espaço 3D.
Para visualizar:
  • Quando , .
  • Conforme aumenta, diminui linearmente.
  • O eixo não influencia o valor de , então o plano é paralelo ao eixo .
Imagine um plano que corta o eixo no ponto e se estende indefinidamente ao longo do eixo , inclinando-se na direção negativa do eixo .

Resposta

  • Domínio: Todo o conjunto dos números reais .
  • Curvas de nível: Linhas verticais para cada constante .
  • Superfície: Um plano inclinado no espaço tridimensional, paralelo ao eixo e inclinando-se negativamente ao longo do eixo .

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