Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso envolve estudar características dessa função, como interceptos, derivadas para encontrar pontos críticos, concavidade e possíveis assíntotas. Vamos precisar usar um pouco de cálculo e entender como cada termo da função influencia no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico corta os eixos e .
  • Intercepto no eixo : Para isso, calculamos quando .
    Então, o intercepto no eixo é .
  • Interceptos no eixo : Encontramos onde .
    Daí, temos que dá (repetido) e . Resolvendo essa última equação:
    Então, os interceptos no eixo são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de , ou seja, quando tende para e .
  • Para , o termo dominante é , que cresce positivamente. Então, .
  • Para , o termo dominante ainda é , que também cresce positivamente (já que qualquer número par elevado a uma potência par é positivo). Então, .
Isso significa que as asas do gráfico sobem para ambos os lados.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas para identificar os pontos críticos, que nos ajudam a localizar máximos, mínimos e pontos de inflexão.
A primeira derivada é:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, e resolvemos :
Então, temos três pontos críticos em , e .

Passo 5

Vamos analisar a segunda derivada para determinar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
A segunda derivada é:
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a zero:
Então, os pontos de inflexão estão em e .

Passo 6

Vamos resumir as informações:
  • Intercepto no :
  • Interceptos no : , ,
  • Comportamento assintótico: para
  • Pontos críticos: Três pontos onde a derivada é zero.
  • Pontos de inflexão: Dois pontos onde a concavidade muda.

Resposta

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função , mostrando os interceptos nos eixos, os pontos críticos com máximos e mínimos locais, os pontos de inflexão e o comportamento assintótico das asas do gráfico que sobem para nos dois lados.

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Escreva como composta de duas outras funções:
Verifique que e determine se:
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Ache o domínio das seguintes funções: