Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso envolve estudar características dessa função, como interceptos, derivadas para encontrar pontos críticos, concavidade e possíveis assíntotas. Vamos precisar usar um pouco de cálculo e entender como cada termo da função influencia no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico corta os eixos
e
.
-
Intercepto no eixo
: Para isso, calculamos quando . Então, o intercepto no eixoé . -
Interceptos no eixo
: Encontramos onde . Daí, temosque dá (repetido) e . Resolvendo essa última equação: Então, os interceptos no eixosão , e .
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de
, ou seja, quando
tende para
e
.
- Para
, o termo dominante é , que cresce positivamente. Então, . - Para
, o termo dominante ainda é , que também cresce positivamente (já que qualquer número par elevado a uma potência par é positivo). Então, .
Isso significa que as asas do gráfico sobem para ambos os lados.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas para identificar os pontos críticos, que nos ajudam a localizar máximos, mínimos e pontos de inflexão.
A primeira derivada é:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto,
e resolvemos
:
Então, temos três pontos críticos em
,
e
.
Passo 5
Vamos analisar a segunda derivada para determinar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
A segunda derivada é:
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a zero:
Então, os pontos de inflexão estão em
e
.
Passo 6
Vamos resumir as informações:
- Intercepto no
: - Interceptos no
: , , - Comportamento assintótico:
para - Pontos críticos: Três pontos onde a derivada é zero.
- Pontos de inflexão: Dois pontos onde a concavidade muda.
Resposta
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
, mostrando os interceptos nos eixos, os pontos críticos com máximos e mínimos locais, os pontos de inflexão e o comportamento assintótico das asas do gráfico que sobem para
nos dois lados.
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Escreva
como composta de duas outras funções:
Verifique que
e determine
se:
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Ache o domínio das seguintes funções: