Verifique que e determine se:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se a imagem da função está dentro do domínio da função e, em seguida, determinar a composição . As funções são dadas por:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de domínio, imagem e composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio de cada função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • Domínio de : A função está definida para todos os onde o denominador não é zero. Ou seja:
    Então, o domínio de é .
  • Domínio de : A função também está definida onde o denominador não é zero:
    Assim, o domínio de é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função , que é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Para , queremos encontrar todos os tais que:
Resolvendo para :
Aqui, pode ser qualquer valor real exceto (pois isso faria o denominador zero). Portanto, a imagem de é:

Passo 4

Agora, vamos verificar se a imagem de está contida no domínio de . Sabemos que:
Como ambos excluem o mesmo valor, é verdadeiro.

Passo 5

Finalmente, vamos determinar a composição , que significa aplicar primeiro e depois no resultado.
Substituindo na função :
Simplificando o numerador e o denominador:

Resposta

A composição é igual a .

Exercícios relacionados

Verifique que e determine se:
a)
Seja . Calcule se:
Escreva como composta de duas outras funções:
Esboce o gráfico das seguintes funções: