Esboce o gráfico (use as ferramentas que você aprendeu em sala de aula), dê o domínio e a imagem da função:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
, além de determinar o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos utilizar conceitos de função logarítmica, suas propriedades e como identificar o domínio e a imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. A função logarítmica básica é
, que está definida apenas para
. Isso significa que o que está dentro do logaritmo precisa ser positivo para que a função exista.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos
. Para encontrar o domínio, vamos resolver essa inequação:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores que -1.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de
. Sabemos que o logaritmo natural pode assumir todos os valores reais, desde que sua entrada seja positiva. Portanto, a imagem de
é
, ou seja, todos os números reais.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, consideramos alguns pontos importantes:
- Quando
, a função não está definida (ponto assíntota vertical em ). - Quando
, . - À medida que
aumenta, também aumenta sem limites. - À medida que
se aproxima de -1 pela direita, tende a menos infinito.
Com essas informações, podemos desenhar uma curva que passa pelo ponto (0,0), aproxima-se da linha
sem tocá-la e sobe continuamente à direita de
.
Resposta
O domínio da função
é
e a imagem é
(todos os números reais).