Esboce o gráfico de
, seguindo o roteiro a seguir:
Calcule os limites quando
e
2
3
4
5
0
0
-2
2
-3
Calcule os limites quando
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
0 | 0 |
-2 | 2 |
-3 | |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para fazer isso, vamos seguir alguns passos importantes:
- Entender o enunciado: Queremos desenhar o gráfico de
. - Conteúdo da matéria: Vamos usar limites, análise de assíntotas e tabela de valores.
- O que vamos precisar: Calcular os limites de
quando tende a e , preencher uma tabela com alguns valores de e , e identificar assíntotas horizontais e verticais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
tende a
.
O que são limites nesse contexto? Limites nos ajudam a entender o comportamento da função quando
fica muito grande (positivamente ou negativamente). Isso nos dá pistas sobre as assíntotas horizontais do gráfico.
Então, calculamos:
Passo 3
Para resolver esse limite, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Agora, quando
tende a
,
tende a 0. Então:
Portanto, o limite quando
tende a
é 1. Isso significa que o gráfico da função se aproxima da linha
à medida que
fica muito grande.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Usando o mesmo método de dividir por
:
Quando
tende a
,
também tende a 0. Portanto:
Então, o limite quando
tende a
também é 1. Isso indica que a linha
é uma assíntota horizontal em ambos os lados do gráfico.
Passo 5
Vamos preencher a tabela com alguns valores de
e calcular
:
[
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
0 | 0 |
-2 |
|
-3 |
|
]
Observação: Quando
, o denominador
se torna zero, o que significa que a função não está definida nesse ponto. Isso sugere a presença de uma assíntota vertical em
.
Passo 6
Agora, identificamos as assíntotas:
-
Assíntota Horizontal: Como vimos, quando
tende a , tende a 1. Então, a linha é uma assíntota horizontal. -
Assíntota Vertical: A função não está definida quando
, ou seja, em . Portanto, há uma assíntota vertical em .
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Assíntota Horizontal: Desenhe uma linha reta em
. - Assíntota Vertical: Desenhe uma linha reta em
. - Pontos Calculados: Plote os pontos da tabela que fizemos.
- Comportamento Próximo às Assíntotas: Conforme
se aproxima de por diferentes lados, o vai para ou .
Resposta
O gráfico de
possui uma assíntota horizontal em
e uma assíntota vertical em
. Com os pontos calculados, o esboço mostrará a função se aproximando dessas assíntotas, passando pelos pontos (2,
), (3,
), (4,
), (5,
), (0, 0 )), (-2, 2) e (-3, 1.5). O gráfico refletirá o comportamento descrito, confirmando os limites calculados e as assíntotas identificadas.
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Calcule a integral indefinida e verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta:
c)
c)
Calcule a derivada de
.
Derive
Derive