Esboce o gráfico de , seguindo o roteiro a seguir:
Calcule os limites quando e
2
3
4
5
0 0
-2 2
-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para fazer isso, vamos seguir alguns passos importantes:
  1. Entender o enunciado: Queremos desenhar o gráfico de .
  2. Conteúdo da matéria: Vamos usar limites, análise de assíntotas e tabela de valores.
  3. O que vamos precisar: Calcular os limites de quando tende a e , preencher uma tabela com alguns valores de e , e identificar assíntotas horizontais e verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando tende a .
O que são limites nesse contexto? Limites nos ajudam a entender o comportamento da função quando fica muito grande (positivamente ou negativamente). Isso nos dá pistas sobre as assíntotas horizontais do gráfico.
Então, calculamos:

Passo 3

Para resolver esse limite, vamos dividir o numerador e o denominador por :
Agora, quando tende a , tende a 0. Então:
Portanto, o limite quando tende a é 1. Isso significa que o gráfico da função se aproxima da linha à medida que fica muito grande.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a :
Usando o mesmo método de dividir por :
Quando tende a , também tende a 0. Portanto:
Então, o limite quando tende a também é 1. Isso indica que a linha é uma assíntota horizontal em ambos os lados do gráfico.

Passo 5

Vamos preencher a tabela com alguns valores de e calcular :
[
2
3
4
5
0 0
-2
-3
]
Observação: Quando , o denominador se torna zero, o que significa que a função não está definida nesse ponto. Isso sugere a presença de uma assíntota vertical em .

Passo 6

Agora, identificamos as assíntotas:
  1. Assíntota Horizontal: Como vimos, quando tende a , tende a 1. Então, a linha é uma assíntota horizontal.
  2. Assíntota Vertical: A função não está definida quando , ou seja, em . Portanto, há uma assíntota vertical em .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Assíntota Horizontal: Desenhe uma linha reta em .
  • Assíntota Vertical: Desenhe uma linha reta em .
  • Pontos Calculados: Plote os pontos da tabela que fizemos.
  • Comportamento Próximo às Assíntotas: Conforme se aproxima de por diferentes lados, o vai para ou .

Resposta

O gráfico de possui uma assíntota horizontal em e uma assíntota vertical em . Com os pontos calculados, o esboço mostrará a função se aproximando dessas assíntotas, passando pelos pontos (2, ), (3, ), (4, ), (5, ), (0, 0 )), (-2, 2) e (-3, 1.5). O gráfico refletirá o comportamento descrito, confirmando os limites calculados e as assíntotas identificadas.

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