Esboce o gráfico de
.
4. Assíntotas (verticais e horizontais)
4. Assíntotas (verticais e horizontais)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função
e identificar suas assíntotas verticais e horizontais. Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas, então vamos precisar entender o domínio da função e onde ela pode ter essas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O logaritmo natural
só existe quando
. Então, precisamos que o argumento dentro do logaritmo seja positivo:
Resolvendo essa inequação:
Então, o domínio da função é todos os reais
entre -2 e 2.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas assíntotas verticais. Essas assíntotas geralmente acontecem nos valores que fazem o denominador de uma fração ser zero ou, no nosso caso, onde o argumento do logaritmo tende a zero, pois o logaritmo tende a menos infinito nessas situações.
Como vimos, o domínio é de
. Nos pontos onde
e
, o argumento do logaritmo
se torna zero. Isso significa que a função tende a menos infinito quando
se aproxima de -2 ou 2. Portanto, temos assíntotas verticais nesses pontos.
Passo 4
Vamos verificar agora as assíntotas horizontais. Essas assíntotas são linhas horizontais que a função se aproxima à medida que
tende a mais ou menos infinito.
No nosso caso, como o domínio da função é limitado entre -2 e 2, não temos valores de
que tendem a mais ou menos infinito dentro do domínio. Além disso, analisando o comportamento da função perto do centro do domínio, percebemos que a função aumenta até um certo ponto e depois diminui, sem se aproximar de uma linha horizontal específica. Portanto, não há assíntotas horizontais nessa função.
Resposta
A função
possui duas assíntotas verticais nas linhas
e
. Não há assíntotas horizontais para essa função.