Esboce o gráfico de y = ln(4 - x^2).
4. Assíntotas (verticais e horizontais)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função e identificar suas assíntotas verticais e horizontais. Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas, então vamos precisar entender o domínio da função e onde ela pode ter essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O logaritmo natural só existe quando . Então, precisamos que o argumento dentro do logaritmo seja positivo:
Resolvendo essa inequação:
Então, o domínio da função é todos os reais entre -2 e 2.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas assíntotas verticais. Essas assíntotas geralmente acontecem nos valores que fazem o denominador de uma fração ser zero ou, no nosso caso, onde o argumento do logaritmo tende a zero, pois o logaritmo tende a menos infinito nessas situações.
Como vimos, o domínio é de . Nos pontos onde e , o argumento do logaritmo se torna zero. Isso significa que a função tende a menos infinito quando se aproxima de -2 ou 2. Portanto, temos assíntotas verticais nesses pontos.

Passo 4

Vamos verificar agora as assíntotas horizontais. Essas assíntotas são linhas horizontais que a função se aproxima à medida que tende a mais ou menos infinito.
No nosso caso, como o domínio da função é limitado entre -2 e 2, não temos valores de que tendem a mais ou menos infinito dentro do domínio. Além disso, analisando o comportamento da função perto do centro do domínio, percebemos que a função aumenta até um certo ponto e depois diminui, sem se aproximar de uma linha horizontal específica. Portanto, não há assíntotas horizontais nessa função.

Resposta

A função possui duas assíntotas verticais nas linhas e . Não há assíntotas horizontais para essa função.

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