Esboce o gráfico de y = ln(4 - x^2).
8. Pontos de inflexão

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico da função . Estamos lidando com funções logarítmicas, então precisamos entender o domínio da função, encontrar onde ela intercepta os eixos, e analisar sua derivada para entender como o gráfico se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como estamos trabalhando com um logaritmo natural, o que está dentro dele precisa ser positivo:
Então, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos achar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo y: ocorre quando .
Então, o intercepto no eixo y é .
  • Interceptos com o eixo x: ocorrem quando .
Portanto, os interceptos com o eixo x são e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função para entender a inclinação do gráfico:
Para encontrar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Vamos determinar a segunda derivada para analisar a concavidade e verificar possíveis pontos de inflexão:
Para encontrar pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
Não há soluções reais para essa equação, então a função não possui pontos de inflexão.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos limites do domínio:
  • Conforme se aproxima de , tende a , então tende a .
  • O mesmo ocorre quando se aproxima de .
Isso indica que existem assíntotas verticais em e .

Resposta

O gráfico de está definido para , intercepta o eixo y em e os eixos x em e . Possui assíntotas verticais em e e não possui pontos de inflexão. O esboço deve mostrar a função decrescendo a partir do ponto e tendendo a conforme se aproxima das assíntotas verticais.

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