Esboce o gráfico de
.
8. Pontos de inflexão
8. Pontos de inflexão
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico da função
. Estamos lidando com funções logarítmicas, então precisamos entender o domínio da função, encontrar onde ela intercepta os eixos, e analisar sua derivada para entender como o gráfico se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como estamos trabalhando com um logaritmo natural, o que está dentro dele precisa ser positivo:
Então, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos achar os interceptos com os eixos.
- Intercepto com o eixo y: ocorre quando
.
Então, o intercepto no eixo y é
.
- Interceptos com o eixo x: ocorrem quando
.
Portanto, os interceptos com o eixo x são
e
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função para entender a inclinação do gráfico:
Para encontrar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Vamos determinar a segunda derivada para analisar a concavidade e verificar possíveis pontos de inflexão:
Para encontrar pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
Não há soluções reais para essa equação, então a função não possui pontos de inflexão.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos limites do domínio:
- Conforme
se aproxima de , tende a , então tende a . - O mesmo ocorre quando
se aproxima de .
Isso indica que existem assíntotas verticais em
e
.
Resposta
O gráfico de
está definido para
, intercepta o eixo y em
e os eixos x em
e
. Possui assíntotas verticais em
e
e não possui pontos de inflexão. O esboço deve mostrar a função decrescendo a partir do ponto
e tendendo a
conforme se aproxima das assíntotas verticais.
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