Esboce o gráfico de y = ln(4 - x^2).
5. Pontos críticos

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico de . Isso envolve entender funções logarítmicas e suas características. A gente vai precisar determinar o domínio da função, interceptações, assimptotas, e pontos críticos para desenhar o gráfico corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como o logaritmo natural só está definido para , precisamos que o argumento seja maior que zero:
Então, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos achar as interceptações com os eixos.
Interceptação com o eixo y: ocorre quando .
Portanto, a interceptação com o eixo y é .
Interceptação com o eixo x: ocorre quando .
Então, as interceptações com o eixo x são e .

Passo 4

Vamos identificar as assimptotas da função. Como tende para quando se aproxima de 0 pela direita, temos assimptotas verticais onde :
Portanto, as assimptotas verticais são as retas e .

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, vamos derivar a função e encontrar onde a derivada é zero ou não existe dentro do domínio.
A derivada de é:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, o único ponto crítico dentro do domínio é . Vamos verificar se é um máximo ou mínimo.
Calculando a segunda derivada:
No ponto :
Isso indica que temos um máximo local em .

Passo 6

Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Domínio:
  • Interceptações: , ,
  • Assimptotas verticais: e
  • Ponto crítico: Máximo em

Resposta

Com todas essas informações, o gráfico de é uma curva que passa pelos pontos , e , tem assimptotas verticais nas retas e , e apresenta um máximo local em . O esboço deve mostrar a curva aumentando até o máximo e decrescendo até as interceptações, aproximando-se das assimptotas verticais conforme se aproxima de .

Gráfico Esboçado

Gráfico de y = ln(4 - x²)

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