Esboce o gráfico de
.
5. Pontos críticos
5. Pontos críticos
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico de
. Isso envolve entender funções logarítmicas e suas características. A gente vai precisar determinar o domínio da função, interceptações, assimptotas, e pontos críticos para desenhar o gráfico corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como o logaritmo natural
só está definido para
, precisamos que o argumento
seja maior que zero:
Então, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos achar as interceptações com os eixos.
Interceptação com o eixo y: ocorre quando
.
Portanto, a interceptação com o eixo y é
.
Interceptação com o eixo x: ocorre quando
.
Então, as interceptações com o eixo x são
e
.
Passo 4
Vamos identificar as assimptotas da função. Como
tende para
quando
se aproxima de 0 pela direita, temos assimptotas verticais onde
:
Portanto, as assimptotas verticais são as retas
e
.
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, vamos derivar a função e encontrar onde a derivada é zero ou não existe dentro do domínio.
A derivada de
é:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, o único ponto crítico dentro do domínio é
. Vamos verificar se é um máximo ou mínimo.
Calculando a segunda derivada:
No ponto
:
Isso indica que temos um máximo local em
.
Passo 6
Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Domínio:
- Interceptações:
, , - Assimptotas verticais:
e - Ponto crítico: Máximo em
Resposta
Com todas essas informações, o gráfico de
é uma curva que passa pelos pontos
,
e
, tem assimptotas verticais nas retas
e
, e apresenta um máximo local em
. O esboço deve mostrar a curva aumentando até o máximo e decrescendo até as interceptações, aproximando-se das assimptotas verticais conforme se aproxima de
.
Gráfico Esboçado

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