Esboce o gráfico de
.
6. Intervalos de crescimento ou decrescimento
6. Intervalos de crescimento ou decrescimento
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
e identificar os intervalos onde ela está crescendo ou decrescendo. Vamos precisar dos conceitos de função logarítmica, domínio da função, derivadas para determinar crescimento e decrescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. A função logarítmica
só existe quando
. Então, para
existir, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função para determinar onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada de
em relação a
é:
Essa derivada nos ajuda a entender o comportamento da função.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada
para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
-
Para
: -
é negativo, então é positivo. -
é positivo. - Portanto,
→ a função está crescendo.
-
-
Para
: -
é positivo, então é negativo. -
é positivo. - Portanto,
→ a função está decrescendo.
-
Passo 5
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O domínio é entre
e . - A função atinge seu valor máximo quando
: . - A função está crescendo de
até e decrescendo de até . - Nos pontos
, a função tende a menos infinito, já que não está definido.
Resposta
O gráfico de
está definido no intervalo
, cresce de
até
, e decresce de
até
.