Esboce o gráfico de y = ln(4 - x^2).
6. Intervalos de crescimento ou decrescimento

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função e identificar os intervalos onde ela está crescendo ou decrescendo. Vamos precisar dos conceitos de função logarítmica, domínio da função, derivadas para determinar crescimento e decrescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. A função logarítmica só existe quando . Então, para existir, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função para determinar onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada de em relação a é:
Essa derivada nos ajuda a entender o comportamento da função.

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
  • Para :
    • é negativo, então é positivo.
    • é positivo.
    • Portanto, → a função está crescendo.
  • Para :
    • é positivo, então é negativo.
    • é positivo.
    • Portanto, → a função está decrescendo.

Passo 5

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • O domínio é entre e .
  • A função atinge seu valor máximo quando : .
  • A função está crescendo de até e decrescendo de até .
  • Nos pontos , a função tende a menos infinito, já que não está definido.

Resposta

O gráfico de está definido no intervalo , cresce de até , e decresce de até .

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