Esboce o gráfico de
.
- Domínio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender sobre funções logarítmicas e como determinar o domínio delas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, quais valores de
fazem com que
seja definida. Sabemos que o logaritmo natural,
, só existe quando
. Então, precisamos que:
Passo 3
Resolvendo a desigualdade
:
Para encontrar os valores de
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, o domínio da função é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos. Primeiro, com o eixo
, onde
:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Para a interseção com o eixo
, precisamos encontrar
quando
:
Então, os pontos de interseção com o eixo
são
e
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função nos extremos do domínio:
- Quando
se aproxima de ou , se aproxima de , fazendo com que tenda a . Isso significa que a função tem assíntotas verticais em e .
Passo 6
Agora, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Domínio:
- Interseções:
- Com o eixo
: - Com o eixo
: e
- Com o eixo
- Assíntotas verticais:
e - Comportamento:
- A função desce de
até nos extremos do domínio.
- A função desce de
Com essas informações, você consegue desenhar uma curva que passa pelos pontos de interseção, se aproxima das assíntotas verticais e exibe o comportamento esperado.
Resposta
O gráfico de
possui domínio entre
, intercepta o eixo
em
e intercepta o eixo
em
e
. Possui assíntotas verticais em
e
. A curva desce suavemente passando pelos pontos de interseção e se aproxima das assíntotas verticais nos extremos do domínio.