Esboce o gráfico de y = ln(4 - x^2).
  1. Domínio

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender sobre funções logarítmicas e como determinar o domínio delas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, quais valores de fazem com que seja definida. Sabemos que o logaritmo natural, , só existe quando . Então, precisamos que:

Passo 3

Resolvendo a desigualdade :
Para encontrar os valores de , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, o domínio da função é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos. Primeiro, com o eixo , onde :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .
Para a interseção com o eixo , precisamos encontrar quando :
Então, os pontos de interseção com o eixo são e .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função nos extremos do domínio:
  • Quando se aproxima de ou , se aproxima de , fazendo com que tenda a . Isso significa que a função tem assíntotas verticais em e .

Passo 6

Agora, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Domínio:
  • Interseções:
    • Com o eixo :
    • Com o eixo : e
  • Assíntotas verticais: e
  • Comportamento:
    • A função desce de até nos extremos do domínio.
Com essas informações, você consegue desenhar uma curva que passa pelos pontos de interseção, se aproxima das assíntotas verticais e exibe o comportamento esperado.

Resposta

O gráfico de possui domínio entre , intercepta o eixo em e intercepta o eixo em e . Possui assíntotas verticais em e . A curva desce suavemente passando pelos pontos de interseção e se aproxima das assíntotas verticais nos extremos do domínio.

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