Use o roteiro para esboçar a curva y = 2x^2 / (x^2 - 1).
9. Concavidade

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente esboçar a curva da função , focando na concavidade. A concavidade da curva nos mostra se ela está “sorrindo” (côncava para cima) ou “chorando” (côncava para baixo). Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A primeira derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, e usamos a regra do quociente para derivar funções que são divisão de duas funções.
A regra do quociente diz que se , então:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajudará a entender a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada .
Usaremos novamente a regra do quociente:
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 4

Para determinar a concavidade, precisamos saber onde a segunda derivada é positiva ou negativa.
Vamos resolver a inequação para encontrar os pontos onde a concavidade muda. Isso pode ser resolvido por substituição ou métodos numéricos, mas para simplificar, vamos analisar o comportamento da função.
Observando o numerador , percebemos que para valores grandes de , domina, tornando . Entre os pontos onde a expressão muda de sinal, a concavidade também muda.

Resposta

A função é côncava para cima ( ) nos intervalos onde e côncava para baixo ( ) onde . Portanto, identificando as raízes da segunda derivada, podemos esboçar a curva indicando essas regiões de concavidade.

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