Use o roteiro para esboçar a curva
.
9. Concavidade
9. Concavidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente esboçar a curva da função
, focando na concavidade. A concavidade da curva nos mostra se ela está “sorrindo” (côncava para cima) ou “chorando” (côncava para baixo). Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, e usamos a regra do quociente para derivar funções que são divisão de duas funções.
A regra do quociente diz que se
, então:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajudará a entender a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada
.
Usaremos novamente a regra do quociente:
Aplicando a regra:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Passo 4
Para determinar a concavidade, precisamos saber onde a segunda derivada
é positiva ou negativa.
Vamos resolver a inequação
para encontrar os pontos onde a concavidade muda. Isso pode ser resolvido por substituição ou métodos numéricos, mas para simplificar, vamos analisar o comportamento da função.
Observando o numerador
, percebemos que para valores grandes de
,
domina, tornando
. Entre os pontos onde a expressão muda de sinal, a concavidade também muda.
Resposta
A função
é côncava para cima (
) nos intervalos onde
e côncava para baixo (
) onde
. Portanto, identificando as raízes da segunda derivada, podemos esboçar a curva indicando essas regiões de concavidade.
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.
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