Use o roteiro para esboçar a curva y = 2x^2 / (x^2 - 1).
8. Pontos de inflexão

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar a curva , focando nos pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender melhor o comportamento da curva. Vamos precisar encontrar a primeira e a segunda derivada da função para identificar onde a concavidade muda, ou seja, onde ocorrem os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. A função está definida para todos os valores de exceto onde o denominador é zero. Então, precisamos resolver :
Portanto, o domínio é exceto e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função. Para o intercepto com o eixo y, basta substituir :
Então, o intercepto com o eixo y é . Para os interceptos com o eixo x, resolvemos :
Então, o único intercepto com o eixo x é também .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, em e . Para as assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função para indo para ou :
Então, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Vamos calcular a primeira derivada para entender onde a função está crescente ou decrescente. A derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. A derivada é zero quando o numerador é zero:
Então, temos um ponto crítico em . Não precisamos considerar onde a derivada não existe, pois já identificamos as assíntotas.

Passo 7

Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade da função. A segunda derivada é:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade da curva muda. Isso acontece onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, quando ela é zero ou não está definida.
Primeiro, analisamos onde :
Não há solução real para essa equação, então a segunda derivada nunca é zero.
Em seguida, verificamos onde a segunda derivada não está definida, ou seja, onde o denominador é zero:
Já sabemos que nesses pontos existem assíntotas verticais, então não são pontos de inflexão.
Como a segunda derivada não muda de sinal em nenhum ponto do domínio da função, não há pontos de inflexão na curva .

Resposta

A curva não possui pontos de inflexão.

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