Use o roteiro para esboçar a curva
.
8. Pontos de inflexão
8. Pontos de inflexão
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar a curva
, focando nos pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender melhor o comportamento da curva. Vamos precisar encontrar a primeira e a segunda derivada da função para identificar onde a concavidade muda, ou seja, onde ocorrem os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. A função
está definida para todos os valores de
exceto onde o denominador é zero. Então, precisamos resolver
:
Portanto, o domínio é
exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função. Para o intercepto com o eixo y, basta substituir
:
Então, o intercepto com o eixo y é
. Para os interceptos com o eixo x, resolvemos
:
Então, o único intercepto com o eixo x é também
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, em
e
. Para as assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função para
indo para
ou
:
Então, temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Vamos calcular a primeira derivada para entender onde a função está crescente ou decrescente. A derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. A derivada
é zero quando o numerador é zero:
Então, temos um ponto crítico em
. Não precisamos considerar onde a derivada não existe, pois já identificamos as assíntotas.
Passo 7
Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade da função. A segunda derivada é:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade da curva muda. Isso acontece onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, quando ela é zero ou não está definida.
Primeiro, analisamos onde
:
Não há solução real para essa equação, então a segunda derivada nunca é zero.
Em seguida, verificamos onde a segunda derivada não está definida, ou seja, onde o denominador é zero:
Já sabemos que nesses pontos existem assíntotas verticais, então não são pontos de inflexão.
Como a segunda derivada não muda de sinal em nenhum ponto do domínio da função, não há pontos de inflexão na curva
.
Resposta
A curva
não possui pontos de inflexão.
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Esboce o gráfico de
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