Esboce os gráficos no mesmo desenho:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar os gráficos das funções
,
e
no mesmo desenho. A gente vai trabalhar com funções trigonométricas, especificamente o cosseno, e vamos precisar entender como a frequência de cada função afeta o formato do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o básico das funções de cosseno. A função geral é
, onde
é o fator que multiplica o
. Esse
determina a frequência da função, ou seja, quantas vezes a onda completa se repete em um intervalo de
.
- Para
, , então a frequência é 1. O período (o comprimento da onda) é . - Para
, , então a frequência é 2. O período é . - Para
, , então a frequência é 4. O período é .
Isso significa que quanto maior o
, mais “ondas” aparecem no mesmo intervalo de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como cada gráfico se comporta:
-
: Tem uma onda padrão, começando em 1 quando , descendo para -1 em , e voltando para 1 em . -
: Essa função completa duas ondas no intervalo de a . Começa em 1, vai para -1 em , volta para 1 em , e assim por diante. -
: Aqui, temos quatro ondas no mesmo intervalo. A função oscila mais rápido, com cada onda completando em .
Passo 4
Ao esboçar todos os três gráficos no mesmo desenho, vamos notar que:
-
Amplitude: Todas têm a mesma amplitude de 1, então elas vão oscilar entre 1 e -1.
-
Período: Conforme aumentamos o valor de
(de 1 para 2 e depois para 4), o período diminui, fazendo com que as ondas se repitam mais rapidamente. -
Intersecções: As funções vão se cruzar em vários pontos, já que compartilham a mesma amplitude e várias oscilações.
No desenho, você vai ver que o gráfico de
é a onda mais espaçada,
é o dobro de rápida, e
é ainda mais rápida, todas se sobrepondo e formando um padrão bem interessante!
Resposta
Ao esboçar
,
e
no mesmo desenho, observa-se que todas as funções têm a mesma amplitude (entre 1 e -1) mas com diferentes frequências. O
exibe uma onda padrão com período
,
completa duas ondas no mesmo intervalo, e
mostra quatro ondas, resultando em gráficos superpostos onde as funções de maior frequência aceleram as oscilações.
Exercícios relacionados
Fazendo uma tabela, esboce os grâficos das seguintes funções:
se
e
se
.
Fazendo uma tabela, esboce os gráficos das seguintes funções:
Seja $f=g \circ h. Calcule $hc)
Verifique que $\operatorname{Imd) $f(x)=2 x-3, \quad g(x)=-x^{2}+3 x+1