Verifique que $\operatorname{Imd) $f(x)=2 x-3, \quad g(x)=-x^{2}+3 x+1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar a imagem das funções e . Aqui, estamos trabalhando com funções lineares e quadráticas na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma função, ou seja, todos os possíveis valores que a função pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a imagem de uma função. A imagem (também chamada de contradomínio) de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode produzir quando aplicamos todos os possíveis valores de entrada (domínio).
Para funções lineares como , a imagem geralmente abrange todos os números reais, a menos que haja restrições específicas.
Passo 3
Vamos analisar a função . Essa é uma função linear, onde o coeficiente de é 2 e o termo constante é -3. Funções lineares têm como gráfico uma reta que se estende infinitamente em ambas as direções, o que significa que para qualquer valor de , podemos encontrar um valor correspondente de .
Passo 4
Como a reta se estende para e , não há restrições nos valores que pode assumir. Isso significa que a imagem de é todos os números reais.
Passo 5
Agora, vamos para a função quadrática . Funções quadráticas têm o formato geral . O gráfico dessa função é uma parábola. O coeficiente de é -1, que é negativo, então a parábola abre para baixo.
Passo 6
Para encontrar a imagem de , precisamos determinar o máximo ou mínimo da função. Como a parábola abre para baixo, ela terá um ponto máximo. Vamos encontrar as coordenadas desse ponto máximo.
Passo 7
A coordenada do vértice de uma parábola é dada por . No caso de , temos e . Então:
Passo 8
Agora, substituímos na função para encontrar o valor máximo:
Passo 9
Então, o valor máximo de é . Como a parábola abre para baixo, pode assumir todos os valores menores ou iguais a .