Verifique que $\operatorname{Imd) $f(x)=2 x-3, \quad g(x)=-x^{2}+3 x+1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar a imagem das funções
e
. Aqui, estamos trabalhando com funções lineares e quadráticas na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma função, ou seja, todos os possíveis valores que a função pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a imagem de uma função. A imagem (também chamada de contradomínio) de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode produzir quando aplicamos todos os possíveis valores de entrada (domínio).
Para funções lineares como
, a imagem geralmente abrange todos os números reais, a menos que haja restrições específicas.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Essa é uma função linear, onde o coeficiente de
é 2 e o termo constante é -3. Funções lineares têm como gráfico uma reta que se estende infinitamente em ambas as direções, o que significa que para qualquer valor de
, podemos encontrar um valor correspondente de
.
Passo 4
Como a reta se estende para
e
, não há restrições nos valores que
pode assumir. Isso significa que a imagem de
é todos os números reais.
Passo 5
Agora, vamos para a função quadrática
. Funções quadráticas têm o formato geral
. O gráfico dessa função é uma parábola. O coeficiente de
é -1, que é negativo, então a parábola abre para baixo.
Passo 6
Para encontrar a imagem de
, precisamos determinar o máximo ou mínimo da função. Como a parábola abre para baixo, ela terá um ponto máximo. Vamos encontrar as coordenadas desse ponto máximo.
Passo 7
A coordenada
do vértice de uma parábola
é dada por
. No caso de
, temos
e
. Então:
Passo 8
Agora, substituímos
na função
para encontrar o valor máximo:
Passo 9
Então, o valor máximo de
é
. Como a parábola abre para baixo,
pode assumir todos os valores menores ou iguais a
.
Resposta
A imagem das funções é: