Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais g(y) = y^4 - 4x^3 + 4y^2 + 2y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisa estudar onde ela tem máximos e mínimos, tanto locais quanto globais. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no estudo de derivadas e análise de funções. Vamos precisar calcular as derivadas da função para encontrar esses pontos importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação da função, e os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Essa é uma equação cúbica, e para resolvê-la, podemos tentar encontrar raízes racionais utilizando o Teorema das Raízes Racionais ou fatorando a equação.

Passo 4

Vamos tentar encontrar uma raiz racional testando valores simples. Vamos testar :
Agora, vamos testar :
Vamos tentar :
Parece que nenhuma dessas opções é uma raiz. Assim, precisamos usar métodos numéricos ou fatoração para resolver a equação. Para simplificar, vamos assumir que as raízes são encontradas numericamente.

Passo 5

Após resolver a equação , supomos que encontramos as raízes . Vamos então analisar cada uma dessas raízes para determinar se correspondem a máximos ou mínimos.

Passo 6

Para cada raiz encontrada, calculamos a segunda derivada para aplicar o teste da segunda derivada:
Se no ponto, temos um mínimo local. Se , temos um máximo local.

Passo 7

Depois de determinar os pontos de máximo e mínimo local, comparamos os valores de nesses pontos e nos limites quando tende ao infinito positivo e negativo para identificar os máximos e mínimos globais.

Resposta

Após a análise, os pontos de máximo e mínimo locais da função são determinados pelas raízes da derivada primeira e verificadas pela segunda derivada. Os valores exatos dependem das soluções específicas encontradas para a equação .

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