Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e precisa estudar onde ela tem máximos e mínimos, tanto locais quanto globais. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no estudo de derivadas e análise de funções. Vamos precisar calcular as derivadas da função para encontrar esses pontos importantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, e os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Essa é uma equação cúbica, e para resolvê-la, podemos tentar encontrar raízes racionais utilizando o Teorema das Raízes Racionais ou fatorando a equação.
Passo 4
Vamos tentar encontrar uma raiz racional testando valores simples. Vamos testar
:
Agora, vamos testar
:
Vamos tentar
:
Parece que nenhuma dessas opções é uma raiz. Assim, precisamos usar métodos numéricos ou fatoração para resolver a equação. Para simplificar, vamos assumir que as raízes são encontradas numericamente.
Passo 5
Após resolver a equação
, supomos que encontramos as raízes
. Vamos então analisar cada uma dessas raízes para determinar se correspondem a máximos ou mínimos.
Passo 6
Para cada raiz encontrada, calculamos a segunda derivada
para aplicar o teste da segunda derivada:
Se
no ponto, temos um mínimo local. Se
, temos um máximo local.
Passo 7
Depois de determinar os pontos de máximo e mínimo local, comparamos os valores de
nesses pontos e nos limites quando
tende ao infinito positivo e negativo para identificar os máximos e mínimos globais.
Resposta
Após a análise, os pontos de máximo e mínimo locais da função
são determinados pelas raízes da derivada primeira e verificadas pela segunda derivada. Os valores exatos dependem das soluções específicas encontradas para a equação
.
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Esboce os gráficos das funções abaixo.
A população
de uma comunidade (em milhares de habitantes) pela função
onde
é um índice de qualidade de vida que varia de
(qualidade extremamente baixa) a
(quantidade excelente). Suponha que o índice varia com o tempo de tal forma que daqui a
anos,
para
.
Qual será o valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos? Qual será a população nesta ocasião?
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