Resolvas os problemas abaixo:
Um fazendeiro quer cercar uma área ao longo de um rio reto dispondo de 600 metros de cerca. A área total será composta pela soma de duas áreas retangulares idênticas que deverão possuir um lado comum, não é necessário cercar ao longo do rio. Determine as medidas dos lados que permitem obter a área máxima.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Um fazendeiro tem 600 metros de cerca para delimitar uma área ao longo de um rio reto. Ele quer dividir essa área em duas áreas retangulares idênticas que compartilham um lado comum. Nosso objetivo é encontrar as medidas dos lados desses retângulos que maximizam a área total. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo de otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Como a área está ao longo de um rio, não precisamos cercar o lado que fica junto ao rio. Além disso, temos duas áreas retangulares que compartilham um lado. Vamos chamar:
  • de comprimento do retângulo (paralelo ao rio)
  • de largura do retângulo (perpendicular ao rio)
Como são duas áreas idênticas, teremos duas larguras e três comprimentos nas cercas.

Passo 3

Vamos expressar a quantidade total de cerca usada. Como temos duas larguras ( ) e três comprimentos ( ), a equação será:
Isso nos ajuda a relacionar e .

Passo 4

Queremos maximizar a área total das duas áreas retangulares. A área de um retângulo é , então a área total será:
Nosso objetivo é maximizar .

Passo 5

Vamos usar a equação da quantidade de cerca para expressar uma variável em termos da outra. Da equação , podemos isolar :

Passo 6

Substituímos na equação da área total:
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos a função área em termos de :
Para encontrar o valor de que maximiza a área, vamos derivar em relação a e igualar a zero.

Passo 8

Calculemos a derivada de :
Igualando a zero para encontrar o valor crítico:

Passo 9

Agora que temos metros, substituímos na equação que relaciona e :

Resposta

As medidas que maximizam a área são:
  • Comprimento ( ): 100 metros
  • Largura ( ): 150 metros

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