Resolvas os problemas abaixo:
As margens superior e inferior de uma página são 3 cm cada uma e as margens laterais de 2,5 cm cada uma. Se a área do material impresso deve ser fixa e igual a
. Quais são as dimensões da página com área mínima?
As margens superior e inferior de uma página são 3 cm cada uma e as margens laterais de 2,5 cm cada uma. Se a área do material impresso deve ser fixa e igual a
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma página com margens fixas: 3 cm na parte de cima e de baixo, e 2,5 cm nas laterais. A área do material impresso (a parte que realmente recebe o texto ou imagens) é fixa e igual a
. A pergunta é: quais devem ser as dimensões totais da página para que a área total seja a mínima possível?
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas. Vamos chamar a largura da área impressa de
cm e a altura da área impressa de
cm. Sabemos que a área da área impressa é
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar essas variáveis com as dimensões totais da página. A largura total da página será a largura da área impressa mais as duas margens laterais:
A altura total da página será a altura da área impressa mais as duas margens superior e inferior:
Passo 4
Nosso objetivo é minimizar a área total da página. A área total
da página é dada por:
Mas sabemos que
, então podemos expressar
em função de
:
Substituindo na expressão da área total:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza
, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso nos dará o ponto mínimo.
Vamos simplificar
antes de derivar:
Agora, derivamos em relação a
:
Simplificando e resolvendo
, encontramos o valor de
que minimiza
.
Passo 6
Após resolver a derivada, encontramos que:
Então, substituindo para encontrar
:
Resposta
As dimensões da página com área mínima são aproximadamente:
Portanto, a página deve ter cerca de 19,35 cm de largura e 49,39 cm de altura para minimizar a área total mantendo a área impressa fixa.
Exercícios relacionados
Esboce os gráficos das funções abaixo seguindo o seguinte roteiro:
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo da derivada segunda;
5- Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
6 - Verifique se existem pontos de inflexão;
7 - Faça o estudo dos limites para e para uma vizinhança dos pontos de descontinuidades conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo da derivada segunda;
5- Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
6 - Verifique se existem pontos de inflexão;
7 - Faça o estudo dos limites para
8- Esboce o gráfico da função.
a
O índice de sensação térmica é a temperatura sentida quando a temperatura real é
e a velocidade do vento,
. Portanto, podemos escrever
. A tabela de valores a seguir foi extraída da Tabela 1 da Seção 14.1. Velocidade do vento
|
| 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | | -10 | -18 | -20 | -21 | -22 | -23 | -23 | | -15 | -24 | -26 | -27 | -29 | -30 | -30 | | -20 | -30 | -33 | -34 | -35 | -36 | -37 | | -25 | -37 | -39 | -41 | -42 | -43 | -44 | Estime os valores
e
. Quais são as interpretações práticas desses valores?
O índice de sensação térmica
Resolvas os problemas abaixo:
Um fazendeiro quer cercar uma área ao longo de um rio reto dispondo de 600 metros de cerca. A área total será composta pela soma de duas áreas retangulares idênticas que deverão possuir um lado comum, não é necessário cercar ao longo do rio. Determine as medidas dos lados que permitem obter a área máxima.
Um fazendeiro quer cercar uma área ao longo de um rio reto dispondo de 600 metros de cerca. A área total será composta pela soma de duas áreas retangulares idênticas que deverão possuir um lado comum, não é necessário cercar ao longo do rio. Determine as medidas dos lados que permitem obter a área máxima.
Resolvas os problemas abaixo:
A taxa de operação (expressa em porcentagem) de fábricas, minas e empresas de serviços em uma certa região do país no t-ésimo dia do ano de 2000 é dada pela função.
A taxa de operação (expressa em porcentagem) de fábricas, minas e empresas de serviços em uma certa região do país no t-ésimo dia do ano de 2000 é dada pela função.
Em que dia dos primeiros 250 dias de 2000 a taxa de operação da capacidade de produção foi máxima?