Resolvas os problemas abaixo:
As margens superior e inferior de uma página são 3 cm cada uma e as margens laterais de 2,5 cm cada uma. Se a área do material impresso deve ser fixa e igual a 623,7 cm^2. Quais são as dimensões da página com área mínima?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma página com margens fixas: 3 cm na parte de cima e de baixo, e 2,5 cm nas laterais. A área do material impresso (a parte que realmente recebe o texto ou imagens) é fixa e igual a . A pergunta é: quais devem ser as dimensões totais da página para que a área total seja a mínima possível?

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas. Vamos chamar a largura da área impressa de cm e a altura da área impressa de cm. Sabemos que a área da área impressa é .

Passo 3

Agora, vamos relacionar essas variáveis com as dimensões totais da página. A largura total da página será a largura da área impressa mais as duas margens laterais:
A altura total da página será a altura da área impressa mais as duas margens superior e inferior:

Passo 4

Nosso objetivo é minimizar a área total da página. A área total da página é dada por:
Mas sabemos que , então podemos expressar em função de :
Substituindo na expressão da área total:

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza , precisamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. Isso nos dará o ponto mínimo.
Vamos simplificar antes de derivar:
Agora, derivamos em relação a :
Simplificando e resolvendo , encontramos o valor de que minimiza .

Passo 6

Após resolver a derivada, encontramos que:
Então, substituindo para encontrar :

Resposta

As dimensões da página com área mínima são aproximadamente:
Portanto, a página deve ter cerca de 19,35 cm de largura e 49,39 cm de altura para minimizar a área total mantendo a área impressa fixa.

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