Resolvas os problemas abaixo:
As margens superior e inferior de uma página são 3 cm cada uma e as margens laterais de 2,5 cm cada uma. Se a área do material impresso deve ser fixa e igual a
. Quais são as dimensões da página com área mínima?
As margens superior e inferior de uma página são 3 cm cada uma e as margens laterais de 2,5 cm cada uma. Se a área do material impresso deve ser fixa e igual a
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma página com margens fixas: 3 cm na parte de cima e de baixo, e 2,5 cm nas laterais. A área do material impresso (a parte que realmente recebe o texto ou imagens) é fixa e igual a
. A pergunta é: quais devem ser as dimensões totais da página para que a área total seja a mínima possível?
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas. Vamos chamar a largura da área impressa de
cm e a altura da área impressa de
cm. Sabemos que a área da área impressa é
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar essas variáveis com as dimensões totais da página. A largura total da página será a largura da área impressa mais as duas margens laterais:
A altura total da página será a altura da área impressa mais as duas margens superior e inferior:
Passo 4
Nosso objetivo é minimizar a área total da página. A área total
da página é dada por:
Mas sabemos que
, então podemos expressar
em função de
:
Substituindo na expressão da área total:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza
, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso nos dará o ponto mínimo.
Vamos simplificar
antes de derivar:
Agora, derivamos em relação a
:
Simplificando e resolvendo
, encontramos o valor de
que minimiza
.
Passo 6
Após resolver a derivada, encontramos que:
Então, substituindo para encontrar
:
Resposta
As dimensões da página com área mínima são aproximadamente:
Portanto, a página deve ter cerca de 19,35 cm de largura e 49,39 cm de altura para minimizar a área total mantendo a área impressa fixa.