Esboce os gráficos das funções e calcule os limites indicados, caso existirem. Nos casos em que o limite não existir, explique o porquê.
b) e , onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos calcular os limites de f(x) = 1 + sen(x) & se x <= 0 cos(x) & se 0 < x < pi sen(x) & se x >= pi quando se aproxima de 0 e de . Para isso, vamos analisar o comportamento da função nas proximidades desses pontos, considerando as diferentes expressões que definem .
Passo 2
Vamos calcular limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (1 + sen(x)) = 1 + sen(0) = 1 + 0 = 1 . Para isso, precisamos considerar os limites à esquerda e à direita de 0.
Limite à esquerda de 0 ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ cos(x) = cos(0) = 1 ):
Quando se aproxima de 0 pela esquerda, usamos a parte da função definida por :
Limite à direita de 0 ():
Quando se aproxima de 0 pela direita, usamos a parte da função definida por :
Como os limites à esquerda e à direita são iguais, o limite geral existe e é igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular limx to pi^- f(x) = limx to pi^- cos(x) = cos(pi) = -1 . Novamente, vamos analisar os limites à esquerda e à direita de limx to pi^+ f(x) = limx to pi^+ sen(x) = sen(pi) = 0 .
Limite à esquerda de ():
Quando se aproxima de pela esquerda, usamos a parte da função definida por :
Limite à direita de ():
Quando se aproxima de pela direita, usamos a parte da função definida por :
Os limites à esquerda e à direita são diferentes ( e respectivamente), então o limite geral quando se aproxima de não existe.