Esboce os gráficos das funções a seguir
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
, que está definida no intervalo
e mapeia para
. Para isso, vamos precisar entender o que é a função arco-seno, as suas propriedades e como ela se comporta nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função arco-seno. A função
é a função inversa do seno quando o seno está restrito ao intervalo
. Isso significa que para cada valor de
entre -1 e 1, existe um único ângulo
nesse intervalo tal que
.
Passo 3
Vamos identificar alguns pontos importantes para desenhar o gráfico:
- Quando
, . - Quando
, . - Quando
, .
Esses pontos nos ajudam a definir os “picos” do gráfico e a centralizar o comportamento da função.
Passo 4
Agora, vamos analisar como a função se comporta entre esses pontos. A função
é crescente no intervalo
, ou seja, conforme
aumenta,
também aumenta. Isso significa que o gráfico vai subir de forma suave desde
até
.
Passo 5
Vamos também considerar a derivada da função para entender a inclinação do gráfico. A derivada de
é
, que é sempre positiva no intervalo
. Isso confirma que a função é sempre crescente nesse intervalo e que a inclinação aumenta à medida que nos aproximamos de
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Começa em
. - Passa por
. - Termina em
. - É uma curva suave e crescente entre esses pontos, com a inclinação aumentando conforme se aproxima dos limites do intervalo.
Resposta
O gráfico da função
no intervalo
é uma curva crescente que passa pelos pontos
,
e
, iniciando-se em
, passando pelo centro em
e subindo até
, com uma inclinação que aumenta conforme se aproxima dos extremos do intervalo.