Esboce os gráficos das funções a seguir f: (-1,1) -> (-pi/2, pi/2) ; f(x) = arcsen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função , que está definida no intervalo e mapeia para . Para isso, vamos precisar entender o que é a função arco-seno, as suas propriedades e como ela se comporta nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função arco-seno. A função é a função inversa do seno quando o seno está restrito ao intervalo . Isso significa que para cada valor de entre -1 e 1, existe um único ângulo nesse intervalo tal que .

Passo 3

Vamos identificar alguns pontos importantes para desenhar o gráfico:
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .
Esses pontos nos ajudam a definir os “picos” do gráfico e a centralizar o comportamento da função.

Passo 4

Agora, vamos analisar como a função se comporta entre esses pontos. A função é crescente no intervalo , ou seja, conforme aumenta, também aumenta. Isso significa que o gráfico vai subir de forma suave desde até .

Passo 5

Vamos também considerar a derivada da função para entender a inclinação do gráfico. A derivada de é , que é sempre positiva no intervalo . Isso confirma que a função é sempre crescente nesse intervalo e que a inclinação aumenta à medida que nos aproximamos de .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Começa em .
  • Passa por .
  • Termina em .
  • É uma curva suave e crescente entre esses pontos, com a inclinação aumentando conforme se aproxima dos limites do intervalo.

Resposta

O gráfico da função no intervalo é uma curva crescente que passa pelos pontos , e , iniciando-se em , passando pelo centro em e subindo até , com uma inclinação que aumenta conforme se aproxima dos extremos do intervalo.

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