Esboce os gráficos das funções a seguir f: R -> (-pi/2, pi/2); f(x) = arctg(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender que estamos trabalhando com a função arcotangente, que é a inversa da tangente. A matéria aqui é de funções trigonométricas e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o comportamento da função arctangente, seus limites, assíntotas e pontos chave.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tem domínio em todos os números reais, ou seja, , e seu contradomínio (os valores que ela pode assumir) está entre e . Isso significa que, conforme cresce para positivo ou negativo infinito, se aproxima de ou , respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar agora os limites da função quando tende ao infinito positivo e negativo:
Esses limites indicam que existem assíntotas horizontais em e .

Passo 4

Agora, vamos considerar o comportamento da função em :
Então, o ponto está no gráfico. Além disso, a função é ímpar, ou seja, , o que significa que o gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 5

Vamos analisar o crescimento da função. A derivada de é:
Como é sempre positivo, a função é sempre crescente. Isso significa que, conforme aumenta, também aumenta, aproximando-se das assíntotas horizontais.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Passa por .
  • Tem assíntotas horizontais em e .
  • É simétrica em relação à origem.
  • É sempre crescente.

Resposta

O gráfico de é uma curva que passa pela origem, é simétrica em relação ao ponto , sempre cresce e se aproxima das assíntotas horizontais e conforme vai para mais ou menos infinito.

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