Esboce os gráficos das funções a seguir
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender que estamos trabalhando com a função arcotangente, que é a inversa da tangente. A matéria aqui é de funções trigonométricas e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o comportamento da função arctangente, seus limites, assíntotas e pontos chave.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função tem domínio em todos os números reais, ou seja,
, e seu contradomínio (os valores que ela pode assumir) está entre
e
. Isso significa que, conforme
cresce para positivo ou negativo infinito, se aproxima de
ou
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar agora os limites da função quando
tende ao infinito positivo e negativo:
Esses limites indicam que existem assíntotas horizontais em
e
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o comportamento da função em
:
Então, o ponto
está no gráfico. Além disso, a função é ímpar, ou seja, , o que significa que o gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 5
Vamos analisar o crescimento da função. A derivada de é:
Como
é sempre positivo, a função é sempre crescente. Isso significa que, conforme
aumenta, também aumenta, aproximando-se das assíntotas horizontais.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Passa por
. - Tem assíntotas horizontais em
e . - É simétrica em relação à origem.
- É sempre crescente.
Resposta
O gráfico de é uma curva que passa pela origem, é simétrica em relação ao ponto
, sempre cresce e se aproxima das assíntotas horizontais
e
conforme
vai para mais ou menos infinito.