Sabendo que para quaisquer
valem
e
mostre as identidades a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma identidade trigonométrica que queremos provar:
Para fazer isso, vamos usar algumas fórmulas trigonométricas básicas que você já conhece, tipo o
e as fórmulas de seno e cosseno da soma de ângulos. Vamos precisar manipular essas fórmulas para chegar na identidade que queremos provar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do cosseno do dobro do ângulo, que é:
Essa fórmula é super útil quando queremos relacionar o cosseno de um ângulo com o seno de metade desse ângulo.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na fórmula que acabamos de lembrar:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 4
Nosso objetivo é isolar
. Vamos reorganizar a equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
Essa é exatamente a identidade que queríamos mostrar!
Resposta
Portanto, mostramos que: