Sabendo que para quaisquer x, y em R valem sen^2(x) + cos^2(x) = 1, sen(x+y) = sen(x) cos(y) + sen(y) cos(x) e cos(x+y) = cos(x) cos(y) - sen(x) sen(y) mostre as identidades a seguir: sen(x/2) = raiz((1 - cos(x)) / 2), x em [0, pi/2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma identidade trigonométrica que queremos provar:
Para fazer isso, vamos usar algumas fórmulas trigonométricas básicas que você já conhece, tipo o e as fórmulas de seno e cosseno da soma de ângulos. Vamos precisar manipular essas fórmulas para chegar na identidade que queremos provar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do cosseno do dobro do ângulo, que é:
Essa fórmula é super útil quando queremos relacionar o cosseno de um ângulo com o seno de metade desse ângulo.

Passo 3

Agora, vamos substituir por na fórmula que acabamos de lembrar:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 4

Nosso objetivo é isolar . Vamos reorganizar a equação:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora, para encontrar , vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
Essa é exatamente a identidade que queríamos mostrar!

Resposta

Portanto, mostramos que:

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