Sabendo que para quaisquer x, y em R valem sen^2(x) + cos^2(x) = 1, sen(x+y) = sen(x) cos(y) + sen(y) cos(x) e cos(x+y) = cos(x) cos(y) - sen(x) sen(y) mostre as identidades a seguir: sen(3x) = 3sen(x)cos^2(x) - sen^3(x)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de trigonometria onde precisamos mostrar que pode ser expresso como . Para isso, usaremos identidades trigonométricas básicas, como a fórmula da soma de ângulos para o seno e o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da soma para o seno:
Aqui, vamos usar essa fórmula para calcular .

Passo 3

Aplicando a fórmula da soma:
Agora, precisamos expressar e em termos de sen(x) e .

Passo 4

Usamos a identidade dupla para o seno:
E a identidade dupla para o cosseno:

Passo 5

Substituindo essas identidades na equação anterior:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar os termos:

Passo 7

Somando os termos semelhantes:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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