Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Queremos esboçar o gráfico da função
. Para isso, precisamos analisar vários aspectos dela, como o domínio, onde ela intercepta os eixos, possíveis assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções, derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo a inequação:
Então, o domínio é
.
Passo 3
Vamos achar as interseções com os eixos. Primeiro, com o eixo
:
Para
:
Isso não é um número real, então não há interseção com o eixo
.
Agora, com o eixo
:
Resolver
:
Então, as interseções com o eixo
são nos pontos
e
.
Passo 4
Vamos verificar as possíveis assíntotas. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para funções com raiz quadrada como essa, geralmente não há assíntotas verticais. Agora, vamos analisar o comportamento para
indo para
:
Então, para
muito grande positivo,
, e para
muito grande negativo,
. Isso sugere que as assíntotas oblíquas são as retas
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
e encontrar onde ela é zero ou indefinida.
Primeiro, reescrevemos
:
Aplicando a regra da derivada:
A derivada está definida para todo
no domínio, ou seja,
ou
. Agora, igualamos
a zero:
Mas
não está no domínio, então não há pontos críticos.
Passo 6
Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. Olhando para a derivada
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Como não há pontos críticos, não temos extremos relativos (máximos ou mínimos locais).
Passo 8
Vamos determinar a concavidade da função, para isso precisamos da segunda derivada
.
Derivando
:
Usamos a regra do quociente:
Analisando o sinal de
:
Como
para
, temos
, então a função é côncava para baixo em todo o seu domínio.
Passo 9
Como a segunda derivada não muda de sinal, não há pontos de inflexão.
Resposta
Resumindo, o gráfico de
possui:
- Domínio:
- Interseções com o eixo
: e - Assíntotas oblíquas:
e - Crescimento: Cresce para
e decresce para - Concavidade: Sempre concava para baixo
- Sem pontos críticos, extremos relativos ou pontos de inflexão
O gráfico se assemelha a duas ramos de uma hipérbole, abertos nas direções opostas, tocando os pontos
e
, e aproximando-se das retas assíntotas
e
.
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Determine a derivada de cada função a seguir:
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