Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver):

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Queremos esboçar o gráfico da função . Para isso, precisamos analisar vários aspectos dela, como o domínio, onde ela intercepta os eixos, possíveis assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções, derivadas e análise de gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo a inequação:
Então, o domínio é .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos. Primeiro, com o eixo :
Para :
Isso não é um número real, então não há interseção com o eixo .
Agora, com o eixo :
Resolver :
Então, as interseções com o eixo são nos pontos e .

Passo 4

Vamos verificar as possíveis assíntotas. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para funções com raiz quadrada como essa, geralmente não há assíntotas verticais. Agora, vamos analisar o comportamento para indo para :
Então, para muito grande positivo, , e para muito grande negativo, . Isso sugere que as assíntotas oblíquas são as retas e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada e encontrar onde ela é zero ou indefinida.
Primeiro, reescrevemos :
Aplicando a regra da derivada:
A derivada está definida para todo no domínio, ou seja, ou . Agora, igualamos a zero:
Mas não está no domínio, então não há pontos críticos.

Passo 6

Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. Olhando para a derivada :
  • Para :
é positivo e é positivo, então . A função está crescendo.
  • Para :
é negativo e é positivo, então . A função está decrescendo.

Passo 7

Como não há pontos críticos, não temos extremos relativos (máximos ou mínimos locais).

Passo 8

Vamos determinar a concavidade da função, para isso precisamos da segunda derivada .
Derivando :
Usamos a regra do quociente:
Analisando o sinal de :
Como para , temos , então a função é côncava para baixo em todo o seu domínio.

Passo 9

Como a segunda derivada não muda de sinal, não há pontos de inflexão.

Resposta

Resumindo, o gráfico de possui:
  • Domínio:
  • Interseções com o eixo : e
  • Assíntotas oblíquas: e
  • Crescimento: Cresce para e decresce para
  • Concavidade: Sempre concava para baixo
  • Sem pontos críticos, extremos relativos ou pontos de inflexão
O gráfico se assemelha a duas ramos de uma hipérbole, abertos nas direções opostas, tocando os pontos e , e aproximando-se das retas assíntotas e .

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Determine a derivada de cada função a seguir:
Determine a derivada de cada função a seguir: